正三角形の頂点をA, B, Cとし、P氏の駒をBに、Q氏の駒をAに置く。A氏から交互に硬貨を投げ、表が出たら自分の駒を反時計回りに1マス動かし、裏が出たら動かさない。駒を動かした結果、相手の駒があるマスに移動したら、その駒を動かした側の勝ちとなる。 (1) A氏が勝つ確率を求めよ。 (2) ゲームが終了するまでに硬貨が投げられた回数の期待値を求めよ。

1. 問題の内容

正三角形の頂点をA, B, Cとし、P氏の駒をBに、Q氏の駒をAに置く。A氏から交互に硬貨を投げ、表が出たら自分の駒を反時計回りに1マス動かし、裏が出たら動かさない。駒を動かした結果、相手の駒があるマスに移動したら、その駒を動かした側の勝ちとなる。

(1) A氏が勝つ確率を求めよ。

(2) ゲームが終了するまでに硬貨が投げられた回数の期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) A氏が勝つ確率

A氏が勝つのは、A氏が駒を動かした結果、Bに移動し、そこにP氏の駒がある場合です。

・1回目でA氏が勝つ確率：A氏が表を出す確率 $\frac{1}{2}$

・3回目でA氏が勝つ確率：A氏が裏、Q氏が裏、A氏が表を出す確率 $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$

・5回目でA氏が勝つ確率：A氏が裏、Q氏が裏、A氏が裏、Q氏が裏、A氏が表を出す確率 $(\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{32}$

...

A氏が勝つ確率は、上記の無限等比数列の和として求められます。

初項 $a = \frac{1}{2}$, 公比 $r = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

無限等比数列の和の公式: $S = \frac{a}{1 - r}$

$S = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$

(2) ゲームが終了するまでに硬貨が投げられた回数の期待値

ゲームが1回で終わる確率: A氏が表を出す確率 $\frac{1}{2}$

ゲームが3回で終わる確率: A氏が裏、Q氏が裏、A氏が表を出す確率 $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$

ゲームが5回で終わる確率: A氏が裏、Q氏が裏、A氏が裏、Q氏が裏、A氏が表を出す確率 $(\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{32}$

...

ゲームが2n-1回で終わる確率は $(\frac{1}{4})^{n-1} \times \frac{1}{2}$

期待値Eは、各回数とその確率の積の和で求められます。

$E = 1 \times \frac{1}{2} + 3 \times \frac{1}{8} + 5 \times \frac{1}{32} + ... = \sum_{n=1}^{\infty} (2n-1) (\frac{1}{4})^{n-1} \frac{1}{2}$

$E = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty} (2n-1) (\frac{1}{4})^{n-1} = \sum_{n=1}^{\infty} n (\frac{1}{4})^{n-1} - \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{4})^{n-1} = \frac{1}{2}(\sum_{n=1}^{\infty} (2n-1) (\frac{1}{4})^{n-1} )$

$\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}$

$\sum_{n=1}^{\infty} x^{n-1} = \frac{1}{1-x}$

$\sum_{n=1}^{\infty} (2n-1) (\frac{1}{4})^{n-1} = 2 \sum_{n=1}^{\infty} n (\frac{1}{4})^{n-1} - \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{4})^{n-1} = 2 \times \frac{1}{(1-\frac{1}{4})^2} - \frac{1}{1-\frac{1}{4}} = 2 \times (\frac{4}{3})^2 - \frac{4}{3} = 2 \times \frac{16}{9} - \frac{4}{3} = \frac{32}{9} - \frac{12}{9} = \frac{20}{9}$

$E = \frac{1}{2} \times \frac{20}{9} = \frac{10}{9}$

3. 最終的な答え

(1) A氏が勝つ確率: $\frac{2}{3}$

(2) ゲームが終了するまでに硬貨が投げられた回数の期待値: $\frac{10}{9}$