$x = \sqrt{5} + 2$, $y = \sqrt{5} - 2$ のとき、$xy - y^2$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$x = \sqrt{5} + 2$, $y = \sqrt{5} - 2$ のとき、$xy - y^2$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$xy$を計算します。

$xy = (\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)$

これは、$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ の公式を利用できます。

$xy = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1$

次に、$y^2$を計算します。

$y^2 = (\sqrt{5} - 2)^2$

これは、$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ の公式を利用できます。

$y^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + 2^2 = 5 - 4\sqrt{5} + 4 = 9 - 4\sqrt{5}$

したがって、

$xy - y^2 = 1 - (9 - 4\sqrt{5}) = 1 - 9 + 4\sqrt{5} = -8 + 4\sqrt{5} = 4\sqrt{5} - 8$

3. 最終的な答え

$4\sqrt{5} - 8$