問題は2つあります。 1. 2次方程式 $x^2 + mx + m + 3 = 0$ が実数解を持つような定数 $m$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

1. 2次方程式 $x^2 + mx + m + 3 = 0$ が実数解を持つような定数 $m$ の値の範囲を求める。

2. 2次不等式 $x^2 + 2mx + 2m + 3 > 0$ の解がすべての実数であるような定数 $m$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(例題1)

2次方程式 $x^2 + mx + m + 3 = 0$ が実数解を持つためには、判別式 $D$ が $D \geq 0$ を満たす必要があります。

判別式 $D$ は、

$D = m^2 - 4(m+3) = m^2 - 4m - 12$

$D \geq 0$ より、

$m^2 - 4m - 12 \geq 0$

$(m - 6)(m + 2) \geq 0$

よって、$m \leq -2$ または $m \geq 6$

(例題2)

2次不等式 $x^2 + 2mx + 2m + 3 > 0$ の解がすべての実数であるためには、放物線 $y = x^2 + 2mx + 2m + 3$ が常に $x$ 軸より上にある必要があります。

これは、2次方程式 $x^2 + 2mx + 2m + 3 = 0$ が実数解を持たない、つまり判別式 $D < 0$ であることと同値です。

判別式 $D$ は、

$D = (2m)^2 - 4(2m+3) = 4m^2 - 8m - 12 = 4(m^2 - 2m - 3)$

$D < 0$ より、

$4(m^2 - 2m - 3) < 0$

$m^2 - 2m - 3 < 0$

$(m - 3)(m + 1) < 0$

よって、$-1 < m < 3$

3. 最終的な答え

例題1の答え：$m \leq -2$ または $m \geq 6$

例題2の答え：$-1 < m < 3$