初項が4、第4項が-108である等比数列について、以下の問題を解く。 (1) 公比を求める。ただし、公比は実数とする。 (2) 初項から第5項までの和を求める。

1. 問題の内容

初項が4、第4項が-108である等比数列について、以下の問題を解く。

(1) 公比を求める。ただし、公比は実数とする。

(2) 初項から第5項までの和を求める。

2. 解き方の手順

(1) 等比数列の一般項は $a_n = a_1 r^{n-1}$ で表される。ここで、$a_n$ は第 $n$ 項、$a_1$ は初項、$r$ は公比である。

問題文より、$a_1 = 4$、$a_4 = -108$ であるから、

$a_4 = a_1 r^{4-1}$

$-108 = 4 r^3$

$r^3 = -27$

$r = -3$

(2) 等比数列の和の公式は $S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$ で表される。ここで、$S_n$ は初項から第 $n$ 項までの和である。

初項から第5項までの和を求めるので、$n=5$ を代入する。

$S_5 = \frac{4(1-(-3)^5)}{1-(-3)}$

$S_5 = \frac{4(1-(-243))}{4}$

$S_5 = 1 + 243$

$S_5 = 244$

3. 最終的な答え

(1) 公比: -3

(2) 初項から第5項までの和: 244