片面が白色、もう片面が黒色の正方形の板が3枚あり、最初は全て白色の面が見えるように並べられています。3枚の板から無作為に1枚を選んで裏返す操作を $n$ 回行ったとき、板が「黒白白」と並ぶ確率を求める問題です。

1. 問題の内容

片面が白色、もう片面が黒色の正方形の板が3枚あり、最初は全て白色の面が見えるように並べられています。3枚の板から無作為に1枚を選んで裏返す操作を $n$ 回行ったとき、板が「黒白白」と並ぶ確率を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、状態を定義します。

* $P_n$: $n$ 回の操作後、「黒白白」という状態になっている確率

* $Q_n$: $n$ 回の操作後、それ以外の状態になっている確率

初期状態は「白白白」なので、$P_0 = 0$です。

$n+1$回目の操作で「黒白白」の状態になるのは、以下の2つの場合です。

* $n$回目の操作で「黒白白」以外の状態にあり、選んだ1枚の板を裏返した結果、「黒白白」になる場合。

* $n$回目の操作で「黒白白」の状態にあり、選んだ1枚の板を裏返した結果、「黒白白」以外の状態になる場合。

「黒白白」以外の状態は全部で7通りあります。

すなわち、「白白白」、「黒黒白」、「黒白黒」、「白黒白」、「白白黒」、「黒黒黒」、「白黒黒」です。

$n$ 回目の操作後に「黒白白」でない状態から「黒白白」の状態になる確率は、$\frac{1}{3}$の場合と$\frac{2}{3}$の場合が存在します。状態が「白白白」の場合、1枚裏返して「黒白白」になる確率は $\frac{1}{3}$です。一方、他の状態から「黒白白」になる確率は $\frac{1}{3}$　もしくは　$\frac{2}{3}$です。　しかし、全ての状態を分けて考えるのは複雑なので、ここでは確率の遷移を考えるのではなく、$P_n$とそれ以外の状態$Q_n$とに分けて考えることにします。

このとき、$Q_n = 1 - P_n$です。

$n+1$回目の操作で状態が「黒白白」になる確率$P_{n+1}$は、以下のように表すことができます。

$P_{n+1} = (1 - P_n) \cdot \frac{1}{3} + P_n \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}(1+P_n)$

したがって、

$P_{n+1} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3}P_n$

この漸化式を解きます。特性方程式は

$x = \frac{1}{3} + \frac{1}{3}x$

$3x = 1+x$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

したがって、

$P_{n+1} - \frac{1}{2} = \frac{1}{3}(P_n - \frac{1}{2})$

数列$\{P_n - \frac{1}{2}\}$は、初項$P_0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$、公比$\frac{1}{3}$の等比数列である。

よって、

$P_n - \frac{1}{2} = (-\frac{1}{2}) (\frac{1}{3})^n$

したがって、

$P_n = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}(\frac{1}{3})^n = \frac{1}{2}(1 - (\frac{1}{3})^n)$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}(1 - (\frac{1}{3})^n)$