5人の部員A, B, C, D, Eの中からくじ引きで2人を選ぶ。 (1) 部員AとBが選ばれる確率を求める。 (2) 5人の中から2人を選び、さらにくじ引きで部長と副部長を決める。このとき部員Bが部長になる確率を求める。

1. 問題の内容

5人の部員A, B, C, D, Eの中からくじ引きで2人を選ぶ。

(1) 部員AとBが選ばれる確率を求める。

(2) 5人の中から2人を選び、さらにくじ引きで部長と副部長を決める。このとき部員Bが部長になる確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 全ての選び方は、5人から2人を選ぶ組み合わせなので、

$_{5}C_{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通り。

AとBが選ばれるのは1通り。

したがって、AとBが選ばれる確率は $\frac{1}{10}$。

(2) 5人の中から2人を選ぶ方法は、$_{5}C_{2} = 10$通り。

選ばれた2人の中から部長と副部長を決める方法は2通り。

したがって、5人の中から2人を選び、部長と副部長を決める方法は、$10 \times 2 = 20$通り。

部員Bが部長になる場合を考える。

まず、Bが選ばれる必要がある。

Bを含む2人の選び方は、Bともう1人を選ぶ選び方なので、4通り（A, C, D, Eのいずれか）。

選ばれた2人の中でBが部長になる確率は$\frac{1}{2}$。

したがって、Bが部長になるのは$4 \times \frac{1}{2} = 2$通りの選び方がある。

別解：

選ばれた2人の中から部長と副部長を決める方法は2通り。

部長にBが選ばれる確率は、最初に誰が選ばれていても$\frac{1}{5}$である。

また、部長がBと決まった上で、副部長が誰になるかは関係ない。

したがって、Bが部長になる確率は、

$\frac{1}{5} \times 2 = \frac{2}{5}$。

間違え。

Bが部長になる確率は、$\frac{2}{20} = \frac{1}{10} = \frac{2}{5}$。

これは間違い。

5人の中から2人を選び、そのうち1人を部長にする。

Bが部長になるには、まず5人からBを含む2人を選ぶ必要がある。

Bともう1人を選ぶ選び方は4通り。

次に、その2人からBを部長に選ぶ確率は$\frac{1}{2}$。

したがって、Bが部長になる確率は$\frac{4}{10} \times \frac{1}{2} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$

また、別の考え方として、5人から部長を選ぶとき、Bが部長になる確率は単純に$\frac{1}{5}$である。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{10}$

(2) $\frac{1}{5}$