関数 $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1$ の $-2 \leq x \leq 4$ における最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1$ の $-2 \leq x \leq 4$ における最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 3x^2 - 12x + 1) = 6x^2 - 6x - 12$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$6x^2 - 6x - 12 = 0$

$x^2 - x - 2 = 0$

$(x - 2)(x + 1) = 0$

したがって、$x = 2, -1$ が極値を取る $x$ 座標です。

次に、定義域の端点（$x = -2, 4$) と極値を与える $x$（$x = -1, 2$）における $f(x)$ の値を計算します。

$f(-2) = 2(-2)^3 - 3(-2)^2 - 12(-2) + 1 = 2(-8) - 3(4) + 24 + 1 = -16 - 12 + 24 + 1 = -3$

$f(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) + 1 = -2 - 3 + 12 + 1 = 8$

$f(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) + 1 = 2(8) - 3(4) - 24 + 1 = 16 - 12 - 24 + 1 = -19$

$f(4) = 2(4)^3 - 3(4)^2 - 12(4) + 1 = 2(64) - 3(16) - 48 + 1 = 128 - 48 - 48 + 1 = 33$

これらの値の中で最も小さいものが最小値です。$f(-2) = -3$, $f(-1) = 8$, $f(2) = -19$, $f(4) = 33$ より、最小値は $f(2) = -19$ です。

3. 最終的な答え

-19