関数 $y = \sqrt[5]{\frac{x+3}{(x+1)^3}}$ を微分する問題です。対数微分法を使って、$y'$ を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt[5]{\frac{x+3}{(x+1)^3}}$ を微分する問題です。対数微分法を使って、$y'$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、両辺の絶対値の自然対数を取ります。

$\log |y| = \frac{1}{5} \log \left| \frac{x+3}{(x+1)^3} \right|$

対数の性質を使って、

$\log |y| = \frac{1}{5} \left( \log |x+3| - \log |(x+1)^3| \right)$

$\log |y| = \frac{1}{5} \left( \log |x+3| - 3\log |x+1| \right)$

次に、両辺を $x$ で微分します。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{5} \left( \frac{1}{x+3} - \frac{3}{x+1} \right)$

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{5} \left( \frac{x+1 - 3(x+3)}{(x+3)(x+1)} \right)$

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{5} \left( \frac{x+1 - 3x - 9}{(x+3)(x+1)} \right)$

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{5} \left( \frac{-2x-8}{(x+3)(x+1)} \right)$

$\frac{y'}{y} = \frac{-2(x+4)}{5(x+3)(x+1)}$

したがって、

$y' = \frac{-2(x+4)}{5(x+3)(x+1)} \cdot y = \frac{-2(x+4)}{5(x+3)(x+1)} \cdot \sqrt[5]{\frac{x+3}{(x+1)^3}}$

$y' = \frac{-2(x+4)}{5(x+1)(x+3)} \cdot \frac{(x+3)^{1/5}}{(x+1)^{3/5}}$

$y' = \frac{-2(x+4)}{5(x+1)(x+3)} \cdot \frac{(x+3)^{1/5}}{(x+1)^{3/5}}$

$y' = \frac{-2(x+4)}{5(x+1)^{8/5}(x+3)^{4/5}}$

$y' = \frac{-2(x+4)}{5(x+1) (x+3)} \sqrt[5]{\frac{x+3}{(x+1)^3}}$

$y' = \frac{-2(x+4)}{5(x+1)^{8/5} (x+3)^{4/5}}$

$y' = \frac{-2(x+4)}{5(x+1)\sqrt[5]{(x+1)^3 (x+3)^4}}$

3. 最終的な答え

$\log|y| = \frac{1}{5}(\log|x+3| - 3\log|x+1|)$

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{5}(\frac{1}{x+3} - \frac{3}{x+1}) = -\frac{2(x+4)}{5(x+1)(x+3)}$

$y' = -\frac{2(x+4)}{5(x+1)(x+3)} \sqrt[5]{\frac{x+3}{(x+1)^3}} = -\frac{2(x+4)}{5(x+1)^{\frac{8}{5}}(x+3)^{\frac{4}{5}}}$

$y' = -\frac{2(x+4)}{5(x+1)\sqrt[5]{(x+1)^3 (x+3)^4}}$

ア = x+3

イ = 3

ウ = x+1

エ = 2

オ = 4

カ = 5

キ = 1

ク = 3

ケ = 1

コ = 3

したがって、$y' = -\frac{2(x+4)}{5(x+1)\sqrt[5]{(x+1)^3(x+3)^4}}$

答え: $y' = -\frac{2(x+4)}{5(x+1)\sqrt[5]{(x+1)^3 (x+3)^4}}$