生徒会役員（会長、副会長、議長）を、立候補者の得票数が多い順に選ぶ。全体の投票数が240票であるとき、 (1) 他の人の得票数に関係なく、会長に選ばれるのに必要な得票数を求める。 (2) 他の人の得票数に関係なく、会長、副会長、議長のいずれかの役員に選ばれるのに必要な得票数を求める。

1. 問題の内容

生徒会役員（会長、副会長、議長）を、立候補者の得票数が多い順に選ぶ。全体の投票数が240票であるとき、

(1) 他の人の得票数に関係なく、会長に選ばれるのに必要な得票数を求める。

(2) 他の人の得票数に関係なく、会長、副会長、議長のいずれかの役員に選ばれるのに必要な得票数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 会長に選ばれるためには、自分が他のどの候補者よりも多い票を獲得する必要がある。最悪のケースとして、自分以外の候補者がなるべく票を分け合っている場合を考える。この場合、自分以外の候補者ができるだけ多く票を取り、かつ、自分よりも票数が少ない状態を維持する必要がある。したがって、自分が獲得する票数が $240$ 票のちょうど半数より1票多い場合に、必ず会長に選ばれる。

$$240 \div 2 + 1 = 120 + 1 = 121$$

したがって、121票以上獲得すれば、確実に会長に選ばれる。

(2) 会長、副会長、議長に選ばれるためには、上位3位に入る必要がある。最悪のケースとして、自分以外の候補者がなるべく票を分け合っている場合を考える。この場合、自分以外の3人ができるだけ多く票を取り、かつ、自分よりも票数が少ない状態を維持する必要がある。自分が獲得する票数が、$240$ 票を4等分した数より1票多い場合に、必ず上位3位に入る。

$$240 \div (3+1) = 240 \div 4 = 60$$

$$60 + 1 = 61$$

したがって、61票以上獲得すれば、確実に会長、副会長、議長のいずれかに選ばれる。

3. 最終的な答え

(1) 会長: 121票

(2) 会長、副会長、議長のいずれかの役員: 61票