与えられた関数をマクローリン級数展開し、指定された項まで求める問題です。 (i) $\frac{2}{1+x^2}$ を $x^8$ の項まで展開します。 (ii) $\sin x \cos x$ を $x^7$ の項まで展開します。 展開式の最後には「+…」または「+R_n」を書く必要があります。

1. 問題の内容

与えられた関数をマクローリン級数展開し、指定された項まで求める問題です。

(i) $\frac{2}{1+x^2}$ を $x^8$ の項まで展開します。

(ii) $\sin x \cos x$ を $x^7$ の項まで展開します。

展開式の最後には「+…」または「+R_n」を書く必要があります。

2. 解き方の手順

(i) $\frac{2}{1+x^2}$ の展開

まず、$\frac{1}{1-x}$ のマクローリン展開を利用します。

$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + ...$

この式で、$x$ を $-x^2$ に置き換えると、

$\frac{1}{1+x^2} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + x^8 - ...$

したがって、

$\frac{2}{1+x^2} = 2(1 - x^2 + x^4 - x^6 + x^8 - ...)$

$x^8$ の項まで展開するので、

$\frac{2}{1+x^2} = 2 - 2x^2 + 2x^4 - 2x^6 + 2x^8 + ...$

(ii) $\sin x \cos x$ の展開

$\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$ であることを利用します。

$\sin x$ のマクローリン展開は、

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + ...$

したがって、

$\sin 2x = 2x - \frac{(2x)^3}{3!} + \frac{(2x)^5}{5!} - \frac{(2x)^7}{7!} + ...$

$\sin 2x = 2x - \frac{8x^3}{6} + \frac{32x^5}{120} - \frac{128x^7}{5040} + ...$

$\sin 2x = 2x - \frac{4}{3}x^3 + \frac{4}{15}x^5 - \frac{8}{315}x^7 + ...$

よって、

$\frac{1}{2} \sin 2x = x - \frac{2}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 - \frac{4}{315}x^7 + ...$

3. 最終的な答え

(i) $\frac{2}{1+x^2} = 2 - 2x^2 + 2x^4 - 2x^6 + 2x^8 + ...$

(ii) $\sin x \cos x = x - \frac{2}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 - \frac{4}{315}x^7 + ...$