次の6つの定積分の値を求めます。 (1) $\int_0^1 x(2x-1)^4 dx$ (2) $\int_0^1 \frac{x+1}{(2-x)^3} dx$ (3) $\int_0^4 \frac{x}{\sqrt{2x+1}} dx$ (4) $\int_0^1 x(x^2-1)^5 dx$ (5) $\int_0^{\pi/2} \cos^3 \theta d\theta$ (6) $\int_1^e \frac{(\log x)^3}{x} dx$

1. 問題の内容

次の6つの定積分の値を求めます。

(1) $\int_0^1 x(2x-1)^4 dx$

(2) $\int_0^1 \frac{x+1}{(2-x)^3} dx$

(3) $\int_0^4 \frac{x}{\sqrt{2x+1}} dx$

(4) $\int_0^1 x(x^2-1)^5 dx$

(5) $\int_0^{\pi/2} \cos^3 \theta d\theta$

(6) $\int_1^e \frac{(\log x)^3}{x} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_0^1 x(2x-1)^4 dx$

$u = 2x - 1$ と置換すると、$x = \frac{u+1}{2}$、$dx = \frac{1}{2}du$。

積分範囲は、$x: 0 \to 1$ に対して $u: -1 \to 1$。

$\int_{-1}^1 \frac{u+1}{2} u^4 \frac{1}{2} du = \frac{1}{4} \int_{-1}^1 (u^5 + u^4) du = \frac{1}{4} \left[ \frac{u^6}{6} + \frac{u^5}{5} \right]_{-1}^1 = \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{6} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{5} \right] = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{10}$.

(2) $\int_0^1 \frac{x+1}{(2-x)^3} dx$

$u = 2-x$ と置換すると、$x = 2-u$、$dx = -du$。

積分範囲は、$x: 0 \to 1$ に対して $u: 2 \to 1$。

$\int_2^1 \frac{3-u}{u^3} (-du) = \int_1^2 \frac{3-u}{u^3} du = \int_1^2 (3u^{-3} - u^{-2}) du = \left[ -\frac{3}{2}u^{-2} + u^{-1} \right]_1^2 = \left[ -\frac{3}{2(4)} + \frac{1}{2} \right] - \left[ -\frac{3}{2} + 1 \right] = -\frac{3}{8} + \frac{1}{2} + \frac{3}{2} - 1 = -\frac{3}{8} + 2 - 1 = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$.

(3) $\int_0^4 \frac{x}{\sqrt{2x+1}} dx$

$u = \sqrt{2x+1}$ と置換すると、$x = \frac{u^2-1}{2}$、$dx = u du$。

積分範囲は、$x: 0 \to 4$ に対して $u: 1 \to 3$。

$\int_1^3 \frac{(u^2-1)/2}{u} u du = \frac{1}{2} \int_1^3 (u^2 - 1) du = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^3}{3} - u \right]_1^3 = \frac{1}{2} \left[ \frac{27}{3} - 3 - \frac{1}{3} + 1 \right] = \frac{1}{2} \left[ 9 - 3 - \frac{1}{3} + 1 \right] = \frac{1}{2} \left[ 7 - \frac{1}{3} \right] = \frac{1}{2} \cdot \frac{20}{3} = \frac{10}{3}$.

(4) $\int_0^1 x(x^2-1)^5 dx$

$u = x^2 - 1$ と置換すると、$du = 2x dx$、$x dx = \frac{1}{2} du$。

積分範囲は、$x: 0 \to 1$ に対して $u: -1 \to 0$。

$\int_{-1}^0 u^5 \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^6}{6} \right]_{-1}^0 = \frac{1}{2} \left[ 0 - \frac{1}{6} \right] = -\frac{1}{12}$.

(5) $\int_0^{\pi/2} \cos^3 \theta d\theta$

$\int_0^{\pi/2} \cos^2 \theta \cos \theta d\theta = \int_0^{\pi/2} (1-\sin^2 \theta) \cos \theta d\theta$

$u = \sin \theta$ と置換すると、$du = \cos \theta d\theta$。

積分範囲は、$\theta: 0 \to \pi/2$ に対して $u: 0 \to 1$。

$\int_0^1 (1-u^2) du = \left[ u - \frac{u^3}{3} \right]_0^1 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

(6) $\int_1^e \frac{(\log x)^3}{x} dx$

$u = \log x$ と置換すると、$du = \frac{1}{x} dx$。

積分範囲は、$x: 1 \to e$ に対して $u: 0 \to 1$。

$\int_0^1 u^3 du = \left[ \frac{u^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{4}$.

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{10}$

(2) $\frac{5}{8}$

(3) $\frac{10}{3}$

(4) $-\frac{1}{12}$

(5) $\frac{2}{3}$

(6) $\frac{1}{4}$