与えられた5x5行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $ \begin{vmatrix} 2 & 1 & 4 & 8 & -5 \\ -2 & -2 & 5 & -5 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 1 & 0 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた5x5行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$$

\begin{vmatrix}

2 & 1 & 4 & 8 & -5 \\

-2 & -2 & 5 & -5 & 5 \\

0 & 0 & 0 & 1 & -2 \\

0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & -2 & 1 & 0

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

まず、4行目と3行目を入れ替えます。行列式は符号が反転します。

$$

\begin{vmatrix}

2 & 1 & 4 & 8 & -5 \\

-2 & -2 & 5 & -5 & 5 \\

0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 1 & -2 \\

0 & 0 & -2 & 1 & 0

\end{vmatrix}

$$

次に、5行目に3行目の2倍を加えます。行列式の値は変わりません。

$$

\begin{vmatrix}

2 & 1 & 4 & 8 & -5 \\

-2 & -2 & 5 & -5 & 5 \\

0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 1 & -2 \\

0 & 0 & 0 & 1 & 0

\end{vmatrix}

$$

さらに、5行目から4行目を引きます。行列式の値は変わりません。

$$

\begin{vmatrix}

2 & 1 & 4 & 8 & -5 \\

-2 & -2 & 5 & -5 & 5 \\

0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 1 & -2 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 2

\end{vmatrix}

$$

この行列は上三角行列なので、行列式は対角成分の積で計算できます。

行列式の値は、

$(-1) \times 2 \times (-2) \times 1 \times 1 \times 2 = 8$

3. 最終的な答え

8