$\int \frac{x^3}{(x^4+1)^2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int \frac{x^3}{(x^4+1)^2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

置換積分を行います。$u = x^4 + 1$ と置くと、$\frac{du}{dx} = 4x^3$ なので、$du = 4x^3 dx$ となります。したがって、$x^3 dx = \frac{1}{4}du$ となります。

これらを元の積分に代入すると、

$\int \frac{x^3}{(x^4+1)^2} dx = \int \frac{1}{u^2} \frac{1}{4} du = \frac{1}{4} \int u^{-2} du$

となります。

$\int u^{-2} du = \frac{u^{-1}}{-1} + C = -u^{-1} + C = -\frac{1}{u} + C$

したがって、

$\frac{1}{4} \int u^{-2} du = \frac{1}{4} \left( -\frac{1}{u} \right) + C = -\frac{1}{4u} + C$

$u = x^4 + 1$ を代入すると、

$-\frac{1}{4u} + C = -\frac{1}{4(x^4+1)} + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{4(x^4+1)} + C$