3x3の行列式 $\begin{vmatrix} -1 & 2 & 2 \\ -1 & 0 & 2 \\ -1 & 0 & 4 \end{vmatrix}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

3x3の行列式

$\begin{vmatrix} -1 & 2 & 2 \\ -1 & 0 & 2 \\ -1 & 0 & 4 \end{vmatrix}$

を計算する問題です。

2. 解き方の手順

(1,1)成分で第1行を掃き出すというヒントに従い、行列式の性質を利用して計算します。

まず、2行目から1行目を引きます。

$\begin{vmatrix} -1 & 2 & 2 \\ -1-(-1) & 0-2 & 2-2 \\ -1 & 0 & 4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 2 \\ 0 & -2 & 0 \\ -1 & 0 & 4 \end{vmatrix}$

次に、3行目から1行目を引きます。

$\begin{vmatrix} -1 & 2 & 2 \\ 0 & -2 & 0 \\ -1-(-1) & 0-2 & 4-2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 2 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 2 \end{vmatrix}$

この行列式を計算します。第1列に沿って展開すると、

$(-1) \cdot \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ -2 & 2 \end{vmatrix} = (-1)((-2) \cdot 2 - 0 \cdot (-2)) = (-1)(-4 - 0) = (-1)(-4) = 4$

あるいは、元の行列式をそのまま計算することもできます。

$\begin{vmatrix} -1 & 2 & 2 \\ -1 & 0 & 2 \\ -1 & 0 & 4 \end{vmatrix} = -1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 4 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ -1 & 0 \end{vmatrix}$

$= -1 \cdot (0 \cdot 4 - 2 \cdot 0) - 2 \cdot ((-1) \cdot 4 - 2 \cdot (-1)) + 2 \cdot ((-1) \cdot 0 - 0 \cdot (-1))$

$= -1 \cdot 0 - 2 \cdot (-4 + 2) + 2 \cdot 0$

$= 0 - 2 \cdot (-2) + 0$

$= 0 + 4 + 0 = 4$

3. 最終的な答え

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