## 問題の回答

## 問題の回答

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1. 問題の内容

与えられた線形写像 $T$ に対して、指定された基に関する表現行列を求める問題です。具体的には、問題 1 では $R^3$ から $R^2$ への線形写像 $T(x)$ と、それぞれの空間の基が与えられ、問題 2 では線形変換 $T(x)$ と、それぞれの空間の基が与えられています。また、2(c)と2(d)は多項式空間における線形変換に対する表現行列を求める問題です。

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2. 解き方の手順

それぞれの問題について、以下の手順で解きます。

1. **基底ベクトルの像を計算する:** 入力空間の基底ベクトルを線形写像 $T$ に代入し、像を計算します。

2. **像を出力空間の基底で表現する:** 計算された像を、出力空間の基底の線形結合で表します。つまり、各像ベクトルを、出力空間の基底ベクトルを並べた行列を用いて、線形方程式を解き、係数を求めます。

3. **表現行列を作成する:** 上記で求めた係数を列ベクトルとして並べたものが、求める表現行列です。

以下に、問題1(a)と2(a)の解き方を詳細に示します。

**問題1(a):**

線形写像: $T(x) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix} x$

$R^3$ の基: $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}, v_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

$R^2$ の基: $w_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}, w_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$

1. 基底ベクトルの像を計算する:

$T(v_1) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$

$T(v_2) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ 17 \end{bmatrix}$

$T(v_3) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix}$

2. 像を出力空間の基底で表現する:

$T(v_1) = a_1 w_1 + b_1 w_2 = a_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + b_1 \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 + 2b_1 \\ 2a_1 + 3b_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$

連立方程式: $a_1 + 2b_1 = 3, 2a_1 + 3b_1 = 4$

これを解くと $a_1 = -1, b_1 = 2$

$T(v_2) = a_2 w_1 + b_2 w_2 = a_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + b_2 \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_2 + 2b_2 \\ 2a_2 + 3b_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ 17 \end{bmatrix}$

連立方程式: $a_2 + 2b_2 = 12, 2a_2 + 3b_2 = 17$

これを解くと $a_2 = -2, b_2 = 7$

$T(v_3) = a_3 w_1 + b_3 w_2 = a_3 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + b_3 \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_3 + 2b_3 \\ 2a_3 + 3b_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix}$

連立方程式: $a_3 + 2b_3 = 5, 2a_3 + 3b_3 = 8$

これを解くと $a_3 = -1, b_3 = 3$

3. 表現行列を作成する:

表現行列は、$\begin{bmatrix} -1 & -2 & -1 \\ 2 & 7 & 3 \end{bmatrix}$

**問題2(a):**

線形写像: $T(x) = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ -1 & -3 & 1 \\ 2 & 5 & 2 \end{bmatrix} x$

$R^3$ の基: $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, v_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, v_3 = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

1. 基底ベクトルの像を計算する：

$T(v_1) = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ -1 & -3 & 1 \\ 2 & 5 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -4 \\ 7 \end{bmatrix}$

$T(v_2) = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ -1 & -3 & 1 \\ 2 & 5 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ -4 \\ 11 \end{bmatrix}$

$T(v_3) = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ -1 & -3 & 1 \\ 2 & 5 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ -5 \\ 13 \end{bmatrix}$

2. 像を出力空間の基底で表現する：

$T(v_1) = a_1 v_1 + b_1 v_2 + c_1 v_3 = a_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + b_1 \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + c_1 \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 + 2b_1 + 3c_1 \\ a_1 + b_1 + c_1 \\ b_1 + c_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -4 \\ 7 \end{bmatrix}$

連立方程式: $a_1 + 2b_1 + 3c_1 = 2, a_1 + b_1 + c_1 = -4, b_1 + c_1 = 7$

これを解くと $a_1 = -20, b_1 = -3, c_1 = 10$

$T(v_2) = a_2 v_1 + b_2 v_2 + c_2 v_3 = a_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + b_2 \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_2 + 2b_2 + 3c_2 \\ a_2 + b_2 + c_2 \\ b_2 + c_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ -4 \\ 11 \end{bmatrix}$

連立方程式: $a_2 + 2b_2 + 3c_2 = 5, a_2 + b_2 + c_2 = -4, b_2 + c_2 = 11$

これを解くと $a_2 = -31, b_2 = -6, c_2 = 17$

$T(v_3) = a_3 v_1 + b_3 v_2 + c_3 v_3 = a_3 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + b_3 \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + c_3 \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_3 + 2b_3 + 3c_3 \\ a_3 + b_3 + c_3 \\ b_3 + c_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ -5 \\ 13 \end{bmatrix}$

連立方程式: $a_3 + 2b_3 + 3c_3 = 7, a_3 + b_3 + c_3 = -5, b_3 + c_3 = 13$

これを解くと $a_3 = -39, b_3 = -8, c_3 = 21$

3. 表現行列を作成する：

表現行列は、$\begin{bmatrix} -20 & -31 & -39 \\ -3 & -6 & -8 \\ 10 & 17 & 21 \end{bmatrix}$

**問題2(c):**

線形変換: $T(f(x)) = 2f'(x) + 3f(x)$

$R[x]_2$ の基: $\{1, x, x^2\}$

1. 基底ベクトルの像を計算する:

$T(1) = 2(0) + 3(1) = 3$

$T(x) = 2(1) + 3(x) = 2 + 3x$

$T(x^2) = 2(2x) + 3(x^2) = 4x + 3x^2$

2. 像を出力空間の基底で表現する：

$T(1) = 3 \cdot 1 + 0 \cdot x + 0 \cdot x^2$

$T(x) = 2 \cdot 1 + 3 \cdot x + 0 \cdot x^2$

$T(x^2) = 0 \cdot 1 + 4 \cdot x + 3 \cdot x^2$

3. 表現行列を作成する：

$\begin{bmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$

**問題2(d):**

線形変換: $T(f(x)) = 2f'(x) + 3f(x)$

$R[x]_2$ の基: $\{1+x, x+x^2, 1-2x^2\}$

1. 基底ベクトルの像を計算する:

$T(1+x) = 2(1) + 3(1+x) = 5 + 3x$

$T(x+x^2) = 2(1+2x) + 3(x+x^2) = 2 + 5x + 3x^2$

$T(1-2x^2) = 2(-4x) + 3(1-2x^2) = 3 - 8x - 6x^2$

2. 像を出力空間の基底で表現する:

$T(1+x) = a(1+x) + b(x+x^2) + c(1-2x^2) = (a+c) + (a+b)x + (b-2c)x^2 = 5 + 3x + 0x^2$

よって、$a+c=5, a+b=3, b-2c=0$ を解くと $a=11/3, b=-2/3, c=4/3$

$T(x+x^2) = a(1+x) + b(x+x^2) + c(1-2x^2) = (a+c) + (a+b)x + (b-2c)x^2 = 2 + 5x + 3x^2$

よって、$a+c=2, a+b=5, b-2c=3$ を解くと $a=25/9, b=20/9, c=-7/9$

$T(1-2x^2) = a(1+x) + b(x+x^2) + c(1-2x^2) = (a+c) + (a+b)x + (b-2c)x^2 = 3 - 8x - 6x^2$

よって、$a+c=3, a+b=-8, b-2c=-6$ を解くと $a=-28/3, b=4/3, c=17/3$

3. 表現行列を作成する:

$\begin{bmatrix} 11/3 & 25/9 & -28/3 \\ -2/3 & 20/9 & 4/3 \\ 4/3 & -7/9 & 17/3 \end{bmatrix}$

同様の手順で、残りの問題も解くことができます。

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3. 最終的な答え

**問題1(a):** $\begin{bmatrix} -1 & -2 & -1 \\ 2 & 7 & 3 \end{bmatrix}$

**問題2(a):** $\begin{bmatrix} -20 & -31 & -39 \\ -3 & -6 & -8 \\ 10 & 17 & 21 \end{bmatrix}$

**問題2(c):** $\begin{bmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$

**問題2(d):** $\begin{bmatrix} 11/3 & 25/9 & -28/3 \\ -2/3 & 20/9 & 4/3 \\ 4/3 & -7/9 & 17/3 \end{bmatrix}$