線形写像 $T$ と、それぞれの線形空間の基が与えられたとき、$T$ の表現行列を求める問題です。具体的には、以下の2つの小問題があります。 (a) $T(x) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix} x$, $x \in \mathbb{R}^3$, $T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2$ $\mathbb{R}^3$ の基: $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ $\mathbb{R}^2$ の基: $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ (b) $T(x) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 3 & 1 \\ 0 & -3 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} x$, $x \in \mathbb{R}^4$, $T: \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^3$ $\mathbb{R}^4$ の基: $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ $\mathbb{R}^3$ の基: $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

線形写像 $T$ と、それぞれの線形空間の基が与えられたとき、$T$ の表現行列を求める問題です。具体的には、以下の2つの小問題があります。

(a) $T(x) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix} x$, $x \in \mathbb{R}^3$, $T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2$

$\mathbb{R}^3$ の基: $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

$\mathbb{R}^2$ の基: $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$

(b) $T(x) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 3 & 1 \\ 0 & -3 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} x$, $x \in \mathbb{R}^4$, $T: \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^3$

$\mathbb{R}^4$ の基: $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\mathbb{R}^3$ の基: $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

表現行列を求めるには、それぞれの入力空間の基ベクトルを線形写像 $T$ で写し、出力空間の基で線形結合して表す必要があります。その係数を列ベクトルとして並べたものが表現行列となります。

(a)

$\mathbb{R}^3$ の基を $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}$, $v_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$、$\mathbb{R}^2$ の基を $w_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$, $w_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$とします。

1. $T(v_1)$, $T(v_2)$, $T(v_3)$ を計算します。

$T(v_1) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$

$T(v_2) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ 17 \end{bmatrix}$

$T(v_3) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix}$

2. $T(v_1)$, $T(v_2)$, $T(v_3)$ を $w_1$ と $w_2$ の線形結合で表します。つまり、

$T(v_1) = a_1 w_1 + b_1 w_2$

$T(v_2) = a_2 w_1 + b_2 w_2$

$T(v_3) = a_3 w_1 + b_3 w_2$

となる $a_i$, $b_i$ ($i = 1, 2, 3$) を求めます。

$\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} = a_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + b_1 \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ より、$a_1 + 2b_1 = 3$、$2a_1 + 3b_1 = 4$ を解くと、$a_1 = -1$, $b_1 = 2$

$\begin{bmatrix} 12 \\ 17 \end{bmatrix} = a_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + b_2 \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ より、$a_2 + 2b_2 = 12$、$2a_2 + 3b_2 = 17$ を解くと、$a_2 = -2$, $b_2 = 7$

$\begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix} = a_3 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + b_3 \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ より、$a_3 + 2b_3 = 5$、$2a_3 + 3b_3 = 8$ を解くと、$a_3 = -1$, $b_3 = 3$

3. 表現行列は、$a_i$, $b_i$ を列ベクトルとして並べたものになります。

$\begin{bmatrix} -1 & -2 & -1 \\ 2 & 7 & 3 \end{bmatrix}$

(b)

$\mathbb{R}^4$ の基を $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}$, $v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $v_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $v_4 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$、$\mathbb{R}^3$ の基を $w_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $w_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $w_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$とします。

1. $T(v_1)$, $T(v_2)$, $T(v_3)$, $T(v_4)$ を計算します。

$T(v_1) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 3 & 1 \\ 0 & -3 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}$

$T(v_2) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 3 & 1 \\ 0 & -3 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix}$

$T(v_3) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 3 & 1 \\ 0 & -3 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}$

$T(v_4) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 3 & 1 \\ 0 & -3 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 \\ -2 \\ 4 \end{bmatrix}$

2. $T(v_1)$, $T(v_2)$, $T(v_3)$, $T(v_4)$ を $w_1$, $w_2$, $w_3$ の線形結合で表します。つまり、

$T(v_1) = a_1 w_1 + b_1 w_2 + c_1 w_3$

$T(v_2) = a_2 w_1 + b_2 w_2 + c_2 w_3$

$T(v_3) = a_3 w_1 + b_3 w_2 + c_3 w_3$

$T(v_4) = a_4 w_1 + b_4 w_2 + c_4 w_3$

となる $a_i$, $b_i$, $c_i$ ($i = 1, 2, 3, 4$) を求めます。

$\begin{bmatrix} 8 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix} = a_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + b_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + c_1 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ より、$a_1 + b_1 = 8$, $a_1 + c_1 = 0$, $b_1 = 3$ を解くと、$a_1 = 5$, $b_1 = 3$, $c_1 = -5$

$\begin{bmatrix} 10 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix} = a_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + b_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ より、$a_2 + b_2 = 10$, $a_2 + c_2 = -1$, $b_2 = 4$ を解くと、$a_2 = 6$, $b_2 = 4$, $c_2 = -7$

$\begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} = a_3 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + b_3 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + c_3 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ より、$a_3 + b_3 = -1$, $a_3 + c_3 = -1$, $b_3 = 0$ を解くと、$a_3 = -1$, $b_3 = 0$, $c_3 = 0$

$\begin{bmatrix} 9 \\ -2 \\ 4 \end{bmatrix} = a_4 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + b_4 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + c_4 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ より、$a_4 + b_4 = 9$, $a_4 + c_4 = -2$, $b_4 = 4$ を解くと、$a_4 = 5$, $b_4 = 4$, $c_4 = -7$

3. 表現行列は、$a_i$, $b_i$, $c_i$ を列ベクトルとして並べたものになります。

$\begin{bmatrix} 5 & 6 & -1 & 5 \\ 3 & 4 & 0 & 4 \\ -5 & -7 & 0 & -7 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

(a) $\begin{bmatrix} -1 & -2 & -1 \\ 2 & 7 & 3 \end{bmatrix}$

(b) $\begin{bmatrix} 5 & 6 & -1 & 5 \\ 3 & 4 & 0 & 4 \\ -5 & -7 & 0 & -7 \end{bmatrix}$