画像にある問題のうち、1.(a) の問題を解きます。 線形写像 $T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ が $T(x) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix} x$ で与えられ、$\mathbb{R}^3$ の基が $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$、 $\mathbb{R}^2$ の基が $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} \right\}$ で与えられているとき、この基に関する表現行列を求めます。

1. 問題の内容

画像にある問題のうち、1.(a) の問題を解きます。

線形写像 $T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ が

$T(x) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix} x$

で与えられ、$\mathbb{R}^3$ の基が

$\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$、

$\mathbb{R}^2$ の基が

$\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} \right\}$

で与えられているとき、この基に関する表現行列を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\mathbb{R}^3$ の基の各ベクトルを $T$ で写像します。

$T \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$

$T \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ 17 \end{bmatrix}$

$T \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix}$

次に、これらのベクトルを $\mathbb{R}^2$ の基 $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} \right\}$ の線形結合で表します。つまり、スカラー $a, b$ を見つけて、

$\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} = a \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 12 \\ 17 \end{bmatrix} = a \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix} = a \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$

連立方程式を解きます。

最初の式から、

$a + 2b = 3$

$2a + 3b = 4$

これを解くと、$a = -1$, $b = 2$

2番目の式から、

$a + 2b = 12$

$2a + 3b = 17$

これを解くと、$a = 2$, $b = 5$

3番目の式から、

$a + 2b = 5$

$2a + 3b = 8$

これを解くと、$a = -1$, $b = 3$

したがって、求める表現行列は

$\begin{bmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 2 & 5 & 3 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{bmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 2 & 5 & 3 \end{bmatrix}$