与えられた定積分の値を求める問題です。今回は以下の2つの積分を計算します。 (1) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \, dx$ (2) $\int_{0}^{1} xe^x \, dx$

1. 問題の内容

与えられた定積分の値を求める問題です。今回は以下の2つの積分を計算します。

(1) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \, dx$

(2) $\int_{0}^{1} xe^x \, dx$

2. 解き方の手順

これらの積分は部分積分を用いて計算します。部分積分の公式は $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ です。

(1) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \, dx$ の場合:

$u = x$ , $dv = \sin x \, dx$ とおくと、

$du = dx$ , $v = -\cos x$ となります。

したがって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \, dx = [-x \cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (-\cos x) \, dx$

$= [-x \cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx$

$= [-\frac{\pi}{2} \cos \frac{\pi}{2} - (-0 \cos 0)] + [\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

$= [0 - 0] + [\sin \frac{\pi}{2} - \sin 0]$

$= 0 + [1 - 0] = 1$

(2) $\int_{0}^{1} xe^x \, dx$ の場合:

$u = x$ , $dv = e^x \, dx$ とおくと、

$du = dx$ , $v = e^x$ となります。

したがって、

$\int_{0}^{1} xe^x \, dx = [xe^x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^x \, dx$

$= [1e^1 - 0e^0] - [e^x]_{0}^{1}$

$= e - [e^1 - e^0]$

$= e - [e - 1] = e - e + 1 = 1$

3. 最終的な答え

(1) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \, dx = 1$

(2) $\int_{0}^{1} xe^x \, dx = 1$