$\int \sin x \cos^4 x \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int \sin x \cos^4 x \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分を計算するために、置換積分を用います。

$u = \cos x$ とおくと、

$\frac{du}{dx} = -\sin x$

$du = -\sin x \, dx$

$\sin x \, dx = -du$

したがって、積分は

$\int \sin x \cos^4 x \, dx = \int u^4 (-du) = -\int u^4 \, du$

となります。

$\int u^4 \, du = \frac{u^5}{5} + C$

なので、

$-\int u^4 \, du = -\frac{u^5}{5} + C$

最後に、$u = \cos x$ を代入すると、

$-\frac{u^5}{5} + C = -\frac{\cos^5 x}{5} + C$

3. 最終的な答え

$\int \sin x \cos^4 x \, dx = -\frac{\cos^5 x}{5} + C$