線形写像 $T$ とそれぞれの空間の基が与えられたとき、その基に関する表現行列を求める問題です。 (a) $T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2$, $T(x) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix} x$ $\mathbb{R}^3$ の基: $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$ $\mathbb{R}^2$ の基: $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} \right\}$ (b) $T: \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^3$, $T(x) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 3 & 1 \\ 0 & -3 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} x$ $\mathbb{R}^4$ の基: $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right\}$ $\mathbb{R}^3$ の基: $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right\}$

1. 問題の内容

線形写像 $T$ とそれぞれの空間の基が与えられたとき、その基に関する表現行列を求める問題です。

(a) $T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2$, $T(x) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix} x$

$\mathbb{R}^3$ の基: $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$

$\mathbb{R}^2$ の基: $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} \right\}$

(b) $T: \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^3$, $T(x) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 3 & 1 \\ 0 & -3 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} x$

$\mathbb{R}^4$ の基: $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right\}$

$\mathbb{R}^3$ の基: $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right\}$

2. 解き方の手順

(a)

まず、$\mathbb{R}^3$ の各基ベクトルを $T$ で写したものを計算します。

$T\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$

$T\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ 17 \end{bmatrix}$

$T\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix}$

次に、これらのベクトルを $\mathbb{R}^2$ の基で展開します。

$\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} = a\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + b\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$

$a + 2b = 3$

$2a + 3b = 4$

これを解くと、$a = -1, b = 2$

$\begin{bmatrix} 12 \\ 17 \end{bmatrix} = a\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + b\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$

$a + 2b = 12$

$2a + 3b = 17$

これを解くと、$a = -2, b = 7$

$\begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix} = a\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + b\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$

$a + 2b = 5$

$2a + 3b = 8$

これを解くと、$a = -1, b = 3$

したがって、表現行列は $\begin{bmatrix} -1 & -2 & -1 \\ 2 & 7 & 3 \end{bmatrix}$

(b)

同様に、$\mathbb{R}^4$ の各基ベクトルを $T$ で写したものを計算します。

$T\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 3 & 1 \\ 0 & -3 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}$

$T\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 3 & 1 \\ 0 & -3 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix}$

$T\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 3 & 1 \\ 0 & -3 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}$

$T\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 3 & 1 \\ 0 & -3 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 \\ -2 \\ 4 \end{bmatrix}$

次に、これらのベクトルを $\mathbb{R}^3$ の基で展開します。

$\begin{bmatrix} 8 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix} = a\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + b\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + c\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

$a + b = 8$

$a + c = 0$

$b = 3$

これから $a = 5, b = 3, c = -5$

$\begin{bmatrix} 10 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix} = a\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + b\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + c\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

$a + b = 10$

$a + c = -1$

$b = 4$

これから $a = 6, b = 4, c = -7$

$\begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} = a\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + b\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + c\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

$a + b = -1$

$a + c = -1$

$b = 0$

これから $a = -1, b = 0, c = 0$

$\begin{bmatrix} 9 \\ -2 \\ 4 \end{bmatrix} = a\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + b\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + c\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

$a + b = 9$

$a + c = -2$

$b = 4$

これから $a = 5, b = 4, c = -7$

したがって、表現行列は $\begin{bmatrix} 5 & 6 & -1 & 5 \\ 3 & 4 & 0 & 4 \\ -5 & -7 & 0 & -7 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

(a) $\begin{bmatrix} -1 & -2 & -1 \\ 2 & 7 & 3 \end{bmatrix}$

(b) $\begin{bmatrix} 5 & 6 & -1 & 5 \\ 3 & 4 & 0 & 4 \\ -5 & -7 & 0 & -7 \end{bmatrix}$