与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $ \begin{vmatrix} -2 & 1 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & -2 & 1 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$$

\begin{vmatrix}

-2 & 1 & -2 & 0 \\

2 & 1 & 0 & 1 \\

0 & 3 & 1 & 1 \\

3 & -1 & -2 & 1

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、いくつかの行または列について展開することができます。ここでは、第1行に沿って展開します。

行列式は以下の式で与えられます。

$det(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} a_{1j} M_{1j}$

ここで、$a_{1j}$ は第1行の要素、$M_{1j}$ は要素 $a_{1j}$ に対応する小行列式です。

従って、

$det(A) = (-2) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \\ -1 & -2 & 1 \end{vmatrix} - (1) \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix} + (-2) \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \end{vmatrix} - (0) \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 3 & -1 & -2 \end{vmatrix}$

3x3行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \\ -1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 1(1\cdot1 - 1\cdot(-2)) - 0 + 1(3\cdot(-2) - 1\cdot(-1)) = 1(1+2) + 1(-6+1) = 3 - 5 = -2$

$\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 2(1\cdot1 - 1\cdot(-2)) - 0 + 1(0\cdot(-2) - 1\cdot3) = 2(1+2) + 1(0-3) = 6 - 3 = 3$

$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 2(3\cdot1 - 1\cdot(-1)) - 1(0\cdot1 - 1\cdot3) + 1(0\cdot(-1) - 3\cdot3) = 2(3+1) - 1(0-3) + 1(0-9) = 8 + 3 - 9 = 2$

したがって、

$det(A) = (-2)(-2) - (1)(3) + (-2)(2) - (0) = 4 - 3 - 4 = -3$

3. 最終的な答え

-3