$a+b = 5\sqrt{7}$、 $a-b = \sqrt{11}$のとき、$ab$の値を求める。

1. 問題の内容

$a+b = 5\sqrt{7}$、 $a-b = \sqrt{11}$のとき、$ab$の値を求める。

2. 解き方の手順

$a+b = 5\sqrt{7}$ と $a-b = \sqrt{11}$ を連立方程式として解き、$a$と$b$の値を求める。

まず、$a$を求める。2つの式を足し合わせると、

$(a+b) + (a-b) = 5\sqrt{7} + \sqrt{11}$

$2a = 5\sqrt{7} + \sqrt{11}$

$a = \frac{5\sqrt{7} + \sqrt{11}}{2}$

次に、$b$を求める。1つ目の式から2つ目の式を引くと、

$(a+b) - (a-b) = 5\sqrt{7} - \sqrt{11}$

$2b = 5\sqrt{7} - \sqrt{11}$

$b = \frac{5\sqrt{7} - \sqrt{11}}{2}$

$ab$を計算する。

$ab = \left(\frac{5\sqrt{7} + \sqrt{11}}{2}\right) \left(\frac{5\sqrt{7} - \sqrt{11}}{2}\right)$

$ab = \frac{(5\sqrt{7})^2 - (\sqrt{11})^2}{4}$

$ab = \frac{25 \cdot 7 - 11}{4}$

$ab = \frac{175 - 11}{4}$

$ab = \frac{164}{4}$

$ab = 41$

3. 最終的な答え

$ab = 41$