次の5つの定積分の値を求める問題です。 (1) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \, dx$ (2) $\int_{0}^{1} x e^x \, dx$ (3) $\int_{1}^{e} x^2 \log x \, dx$ (4) $\int_{0}^{1} \tan^{-1} x \, dx$ (5) $\int_{0}^{\frac{1}{2}} \sin^{-1} x \, dx$

1. 問題の内容

次の5つの定積分の値を求める問題です。

(1) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \, dx$

(2) $\int_{0}^{1} x e^x \, dx$

(3) $\int_{1}^{e} x^2 \log x \, dx$

(4) $\int_{0}^{1} \tan^{-1} x \, dx$

(5) $\int_{0}^{\frac{1}{2}} \sin^{-1} x \, dx$

2. 解き方の手順

各定積分に対して部分積分を用いて計算します。

(1) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \, dx$

$u = x$, $dv = \sin x \, dx$ とすると、$du = dx$, $v = -\cos x$ より、

$$\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx = -x \cos x + \sin x + C$$

よって、

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \, dx = [-x \cos x + \sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = (-\frac{\pi}{2} \cos \frac{\pi}{2} + \sin \frac{\pi}{2}) - (-0 \cos 0 + \sin 0) = (0 + 1) - (0 + 0) = 1$$

(2) $\int_{0}^{1} x e^x \, dx$

$u = x$, $dv = e^x \, dx$ とすると、$du = dx$, $v = e^x$ より、

$$\int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x + C$$

よって、

$$\int_{0}^{1} x e^x \, dx = [x e^x - e^x]_{0}^{1} = (1 e^1 - e^1) - (0 e^0 - e^0) = (e - e) - (0 - 1) = 1$$

(3) $\int_{1}^{e} x^2 \log x \, dx$

$u = \log x$, $dv = x^2 \, dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} \, dx$, $v = \frac{x^3}{3}$ より、

$$\int x^2 \log x \, dx = \frac{x^3}{3} \log x - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^3}{3} \log x - \int \frac{x^2}{3} \, dx = \frac{x^3}{3} \log x - \frac{x^3}{9} + C$$

よって、

$$\int_{1}^{e} x^2 \log x \, dx = [\frac{x^3}{3} \log x - \frac{x^3}{9}]_{1}^{e} = (\frac{e^3}{3} \log e - \frac{e^3}{9}) - (\frac{1}{3} \log 1 - \frac{1}{9}) = (\frac{e^3}{3} - \frac{e^3}{9}) - (0 - \frac{1}{9}) = \frac{2 e^3}{9} + \frac{1}{9} = \frac{2e^3 + 1}{9}$$

(4) $\int_{0}^{1} \tan^{-1} x \, dx$

$u = \tan^{-1} x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{1+x^2} \, dx$, $v = x$ より、

$$\int \tan^{-1} x \, dx = x \tan^{-1} x - \int \frac{x}{1+x^2} \, dx$$

ここで、$\int \frac{x}{1+x^2} \, dx = \frac{1}{2} \log (1+x^2) + C$ なので、

$$\int \tan^{-1} x \, dx = x \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \log (1+x^2) + C$$

よって、

$$\int_{0}^{1} \tan^{-1} x \, dx = [x \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \log (1+x^2)]_{0}^{1} = (1 \tan^{-1} 1 - \frac{1}{2} \log 2) - (0 \tan^{-1} 0 - \frac{1}{2} \log 1) = (\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \log 2) - (0 - 0) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \log 2$$

(5) $\int_{0}^{\frac{1}{2}} \sin^{-1} x \, dx$

$u = \sin^{-1} x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$, $v = x$ より、

$$\int \sin^{-1} x \, dx = x \sin^{-1} x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$$

ここで、$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \sqrt{1-x^2} + C$ なので、

$$\int \sin^{-1} x \, dx = x \sin^{-1} x + \sqrt{1-x^2} + C$$

よって、

$$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \sin^{-1} x \, dx = [x \sin^{-1} x + \sqrt{1-x^2}]_{0}^{\frac{1}{2}} = (\frac{1}{2} \sin^{-1} \frac{1}{2} + \sqrt{1 - (\frac{1}{2})^2}) - (0 \sin^{-1} 0 + \sqrt{1-0^2}) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{6} + \sqrt{\frac{3}{4}}) - (0 + 1) = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 1$$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 1

(3) $\frac{2e^3 + 1}{9}$

(4) $\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \log 2$

(5) $\frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 1$