与えられた5x5行列の行列式を計算します。行列は以下の通りです。 $\begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{vmatrix}$
2025/7/11
1. 問題の内容
与えられた5x5行列の行列式を計算します。行列は以下の通りです。
$\begin{vmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0
\end{vmatrix}$
2. 解き方の手順
与えられた行列式を計算するために、行または列の入れ替えを利用して、単位行列に変形することを試みます。行の入れ替えを行うたびに、行列式の符号が変わります。
1. 1行目と3行目を入れ替えます。
$\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0
\end{vmatrix}$
符号は-1倍されます。
2. 2行目と3行目を入れ替えます。
$\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0
\end{vmatrix}$
符号は-1倍されます。つまり、元々の符号と合わせると(-1)*(-1) = 1倍です。
3. 3行目と5行目を入れ替えます。
$\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{vmatrix}$
符号は-1倍されます。つまり、元々の符号と合わせると(-1)*(-1)*(-1) = -1倍です。
4. 4行目と5行目を入れ替えます。
$\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{vmatrix}$
符号は-1倍されます。つまり、元々の符号と合わせると(-1)*(-1)*(-1)*(-1) = 1倍です。
これで単位行列になったので、行列式は1です。行の入れ替えを4回行ったので、元の行列式の符号は1倍になります。
または、置換を使って計算することもできます。元の行列のnonzeroの場所は (2,1), (1,2), (5,3), (4,5), (3,4)です。これに対応する置換は(2 1 5 4 3)です。この置換は4回の互換で表せるので、符号は(-1)^4 = 1です。
3. 最終的な答え
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