与えられた4x4行列の行列式を計算します。行列は次の通りです。 $ \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算します。行列は次の通りです。

$$

\begin{vmatrix}

0 & 0 & 0 & 2 \\

0 & -1 & 0 & 0 \\

-2 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & -2 & 0

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、いくつかの方法があります。ここでは、1行目または1列目に関して余因子展開を行う方法を示します。

1行目に関して余因子展開を行うと、次のようになります。

$\begin{vmatrix}

0 & 0 & 0 & 2 \\

0 & -1 & 0 & 0 \\

-2 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & -2 & 0

\end{vmatrix} = 0 \cdot C_{11} + 0 \cdot C_{12} + 0 \cdot C_{13} + 2 \cdot C_{14}$

ここで、$C_{ij}$は(i,j)成分に関する余因子です。したがって、

$= 2 \cdot C_{14} = 2 \cdot (-1)^{1+4} \begin{vmatrix}

0 & -1 & 0 \\

-2 & 0 & 0 \\

0 & 0 & -2

\end{vmatrix}$

$= 2 \cdot (-1) \begin{vmatrix}

0 & -1 & 0 \\

-2 & 0 & 0 \\

0 & 0 & -2

\end{vmatrix}$

この3x3行列式を計算するために、1行目に関して余因子展開を行います。

$\begin{vmatrix}

0 & -1 & 0 \\

-2 & 0 & 0 \\

0 & 0 & -2

\end{vmatrix} = 0 \cdot C_{11} + (-1) \cdot C_{12} + 0 \cdot C_{13} = (-1) \cdot (-1)^{1+2} \begin{vmatrix}

-2 & 0 \\

0 & -2

\end{vmatrix}$

$= (-1) \cdot (-1) ((-2) \cdot (-2) - 0 \cdot 0) = 1 \cdot (4 - 0) = 4$

したがって、元の4x4行列の行列式は

$2 \cdot (-1) \cdot 4 = -8$

3. 最終的な答え

-8