2x2の行列式 $ \begin{vmatrix} a & b \\ b & a \end{vmatrix} \begin{vmatrix} c & d \\ d & c \end{vmatrix} $ を2通りの方法で計算することにより、次の等式を示す問題。 $ (a^2 - b^2)(c^2 - d^2) = (ac+bd)^2 - (ad+bc)^2 $

1. 問題の内容

2x2の行列式

$\begin{vmatrix} a & b \\ b & a \end{vmatrix} \begin{vmatrix} c & d \\ d & c \end{vmatrix}$

を2通りの方法で計算することにより、次の等式を示す問題。

$(a^2 - b^2)(c^2 - d^2) = (ac+bd)^2 - (ad+bc)^2$

2. 解き方の手順

まず、左辺の行列式の積をそれぞれ計算する。

$\begin{vmatrix} a & b \\ b & a \end{vmatrix} = a^2 - b^2$

$\begin{vmatrix} c & d \\ d & c \end{vmatrix} = c^2 - d^2$

よって、左辺は $(a^2 - b^2)(c^2 - d^2)$となる。

次に、行列の積を計算する。

$\begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c & d \\ d & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ac+bd & ad+bc \\ bc+ad & bd+ac \end{pmatrix}$

この行列式の値を計算すると、

$\begin{vmatrix} ac+bd & ad+bc \\ ad+bc & ac+bd \end{vmatrix} = (ac+bd)^2 - (ad+bc)^2$

したがって、

$(a^2 - b^2)(c^2 - d^2) = a^2c^2 - a^2d^2 - b^2c^2 + b^2d^2$

$(ac+bd)^2 - (ad+bc)^2 = (a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2) - (a^2d^2 + 2abcd + b^2c^2) = a^2c^2 + b^2d^2 - a^2d^2 - b^2c^2$

以上より、$(a^2 - b^2)(c^2 - d^2) = (ac+bd)^2 - (ad+bc)^2$が成り立つ。

3. 最終的な答え

$(a^2 - b^2)(c^2 - d^2) = (ac+bd)^2 - (ad+bc)^2$