2次関数 $y = 2x^2 - 2x + 5$ のグラフの頂点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 2x^2 - 2x + 5$ のグラフの頂点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

頂点の座標を求めるために、与えられた2次関数を平方完成の形に変形します。

まず、$x^2$ の項の係数である $2$ を $x^2$ と $x$ の項から括り出します。

$y = 2(x^2 - x) + 5$

次に、括弧の中身を平方完成します。$x$ の係数 $-1$ の半分である $-\frac{1}{2}$ を用いて、$x^2 - x$ を $(x - \frac{1}{2})^2$ の形に変形します。

$(x - \frac{1}{2})^2 = x^2 - x + \frac{1}{4}$ であるので、$x^2 - x = (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$ となります。

これを元の式に代入すると、

$y = 2((x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}) + 5$

$y = 2(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + 5$

$y = 2(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{9}{2}$

平方完成された式 $y = 2(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{9}{2}$ から、頂点の座標は $(\frac{1}{2}, \frac{9}{2})$ であることがわかります。

3. 最終的な答え

$(\frac{1}{2}, \frac{9}{2})$