定数 $k$ を含む放物線 $y = x^2 + (k-6)x - 2k + 17$ について、以下の2つの問題を解く。 (5) $k=12$ のとき、放物線と $x$ 軸の共有点の座標を求める。 (6) 放物線と $x$ 軸が異なる2つの共有点をもつとき、$k$ のとり得る値の範囲を求める。

1. 問題の内容

定数 $k$ を含む放物線 $y = x^2 + (k-6)x - 2k + 17$ について、以下の2つの問題を解く。

(5) $k=12$ のとき、放物線と $x$ 軸の共有点の座標を求める。

(6) 放物線と $x$ 軸が異なる2つの共有点をもつとき、$k$ のとり得る値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(5) $k=12$ のとき、放物線の式は

$y = x^2 + (12-6)x - 2(12) + 17 = x^2 + 6x - 24 + 17 = x^2 + 6x - 7$

$x$ 軸との共有点は、$y=0$ となる $x$ の値を求めることで得られる。

$x^2 + 6x - 7 = 0$

$(x+7)(x-1) = 0$

$x = -7, 1$

したがって、共有点の座標は $(-7, 0)$ と $(1, 0)$ である。

(6) 放物線と $x$ 軸が異なる2つの共有点を持つためには、判別式 $D$ が正である必要がある。

$D = (k-6)^2 - 4(1)(-2k+17) > 0$

$k^2 - 12k + 36 + 8k - 68 > 0$

$k^2 - 4k - 32 > 0$

$(k-8)(k+4) > 0$

したがって、$k < -4$ または $k > 8$ である。

3. 最終的な答え

(5) $(-7, 0)$, $(1, 0)$

(6) $k < -4$ または $k > 8$