与えられた線形写像 $T$ と、それぞれの空間の基に関する表現行列を求める問題です。具体的には、(a) $T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ と (b) $T: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3$ の2つの線形写像について、指定された基に対する表現行列を計算します。

1. 問題の内容

与えられた線形写像 $T$ と、それぞれの空間の基に関する表現行列を求める問題です。具体的には、(a) $T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ と (b) $T: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3$ の2つの線形写像について、指定された基に対する表現行列を計算します。

2. 解き方の手順

(a) $T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ の場合:

1. $\mathbb{R}^3$ の基の各ベクトルを線形写像 $T$ で写します。

2. 得られたベクトルを $\mathbb{R}^2$ の基の線形結合で表します。つまり、係数を求めます。

3. 求めた係数を列として並べたものが、求める表現行列です。

(b) $T: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3$ の場合も同様の手順です。

(a) の詳細な手順

$\mathbb{R}^3$ の基を $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}$, $v_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ とします。

$\mathbb{R}^2$ の基を $w_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$, $w_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ とします。

1. $T(v_1) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$

$T(v_2) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ 17 \end{bmatrix}$

$T(v_3) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix}$

2. 各 $T(v_i)$ を $w_1, w_2$ の線形結合で表します。

$T(v_1) = a_1 w_1 + a_2 w_2$:

$\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} = a_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + a_2 \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$

$a_1 + 2a_2 = 3$

$2a_1 + 3a_2 = 4$

これを解くと $a_1 = -1$, $a_2 = 2$ となります。

$T(v_2) = b_1 w_1 + b_2 w_2$:

$\begin{bmatrix} 12 \\ 17 \end{bmatrix} = b_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + b_2 \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$

$b_1 + 2b_2 = 12$

$2b_1 + 3b_2 = 17$

これを解くと $b_1 = -2$, $b_2 = 7$ となります。

$T(v_3) = c_1 w_1 + c_2 w_2$:

$\begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix} = c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$

$c_1 + 2c_2 = 5$

$2c_1 + 3c_2 = 8$

これを解くと $c_1 = -1$, $c_2 = 3$ となります。

3. 表現行列は、

$\begin{bmatrix} -1 & -2 & -1 \\ 2 & 7 & 3 \end{bmatrix}$

(b) の詳細な手順

$\mathbb{R}^4$ の基を $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}$, $v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $v_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $v_4 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ とします。

$\mathbb{R}^3$ の基を $w_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $w_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $w_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ とします。

1. $T(v_1) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 3 & 1 \\ 0 & -3 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix}$

$T(v_2) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 3 & 1 \\ 0 & -3 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix}$

$T(v_3) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 3 & 1 \\ 0 & -3 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}$

$T(v_4) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 3 & 1 \\ 0 & -3 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 \\ -2 \\ 4 \end{bmatrix}$

2. 各 $T(v_i)$ を $w_1, w_2, w_3$ の線形結合で表します。

$T(v_1) = a_1 w_1 + a_2 w_2 + a_3 w_3$:

$\begin{bmatrix} 8 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix} = a_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + a_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + a_3 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

$a_1 + a_2 = 8$

$a_1 + a_3 = -1$

$a_2 + a_3 = 3$

これを解くと $a_1 = 3$, $a_2 = 5$, $a_3 = -4$ となります。

$T(v_2) = b_1 w_1 + b_2 w_2 + b_3 w_3$:

$\begin{bmatrix} 10 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix} = b_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + b_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + b_3 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

$b_1 + b_2 = 10$

$b_1 + b_3 = -1$

$b_2 + b_3 = 4$

これを解くと $b_1 = 3$, $b_2 = 7$, $b_3 = -4$ となります。

$T(v_3) = c_1 w_1 + c_2 w_2 + c_3 w_3$:

$\begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} = c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + c_3 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

$c_1 + c_2 = -1$

$c_1 + c_3 = -1$

$c_2 + c_3 = 0$

これを解くと $c_1 = -1$, $c_2 = 0$, $c_3 = 0$ となります。

$T(v_4) = d_1 w_1 + d_2 w_2 + d_3 w_3$:

$\begin{bmatrix} 9 \\ -2 \\ 4 \end{bmatrix} = d_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + d_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + d_3 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

$d_1 + d_2 = 9$

$d_1 + d_3 = -2$

$d_2 + d_3 = 4$

これを解くと $d_1 = 3.5$, $d_2 = 5.5$, $d_3 = -5.5$ となります。

3. 表現行列は、

$\begin{bmatrix} 3 & 3 & -1 & 3.5 \\ 5 & 7 & 0 & 5.5 \\ -4 & -4 & 0 & -5.5 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

(a) の表現行列: $\begin{bmatrix} -1 & -2 & -1 \\ 2 & 7 & 3 \end{bmatrix}$

(b) の表現行列: $\begin{bmatrix} 3 & 3 & -1 & 3.5 \\ 5 & 7 & 0 & 5.5 \\ -4 & -4 & 0 & -5.5 \end{bmatrix}$