$P = (p_1 \ p_2 \ p_3)$ があり、rank$(P) = 3$ とする。$A = (p_1 \ p_2 \ 2p_1+3p_2 \ p_3 \ p_1-p_2+3p_3)$ とするとき、線形方程式 $Ax = 2p_1+3p_2-p_3$ の解のパラメータ表示を求める。

1. 問題の内容

$P = (p_1 \ p_2 \ p_3)$ があり、rank$(P) = 3$ とする。$A = (p_1 \ p_2 \ 2p_1+3p_2 \ p_3 \ p_1-p_2+3p_3)$ とするとき、線形方程式 $Ax = 2p_1+3p_2-p_3$ の解のパラメータ表示を求める。

2. 解き方の手順

$A = (p_1 \ p_2 \ 2p_1+3p_2 \ p_3 \ p_1-p_2+3p_3)$ とすると、

$Ax = x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 (2p_1+3p_2) + x_4 p_3 + x_5 (p_1-p_2+3p_3) = 2p_1 + 3p_2 - p_3$

整理すると

$(x_1+2x_3+x_5)p_1 + (x_2+3x_3-x_5)p_2 + (x_4+3x_5)p_3 = 2p_1 + 3p_2 - p_3$

$p_1, p_2, p_3$ は一次独立なので、

$x_1+2x_3+x_5 = 2$

$x_2+3x_3-x_5 = 3$

$x_4+3x_5 = -1$

$x_1 = 2 - 2x_3 - x_5$

$x_2 = 3 - 3x_3 + x_5$

$x_4 = -1 - 3x_5$

したがって、

$x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 2x_3 - x_5 \\ 3 - 3x_3 + x_5 \\ x_3 \\ -1 - 3x_5 \\ x_5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + x_3 \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + x_5 \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$

$x_3 = s, \ x_5 = t$ とおくと

$x = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$x = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} \ (s, t \in \mathbb{R})$