$A, B, C$ が $n$ 次正方行列であるとき、以下の等式を証明する必要があります。 $\begin{vmatrix} A & B \\ C & O \end{vmatrix} = (-1)^n |B| |C|$ ここで、$|A|$ は行列 $A$ の行列式を表します。

1. 問題の内容

$A, B, C$ が $n$ 次正方行列であるとき、以下の等式を証明する必要があります。

$\begin{vmatrix} A & B \\ C & O \end{vmatrix} = (-1)^n |B| |C|$

ここで、$|A|$ は行列 $A$ の行列式を表します。

2. 解き方の手順

まず、$n$ 次正方行列 $X$ に対して、

$\begin{vmatrix} A & B \\ C & D \end{vmatrix} = |A| |D - CA^{-1}B|$ (もし $A^{-1}$ が存在すれば)

$\begin{vmatrix} A & B \\ C & D \end{vmatrix} = |D| |A - BD^{-1}C|$ (もし $D^{-1}$ が存在すれば)

という行列式の公式を利用することを考えます。

今回の問題では、$D = O$ であるため、$D^{-1}$ は存在しません。また、一般に、$A^{-1}$ が存在しない場合もあります。

しかし、以下の恒等式を利用することで、問題を解決できます。

$\begin{pmatrix} A & B \\ C & O \end{pmatrix} \begin{pmatrix} O & I \\ I & -A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} B & O \\ O & C \end{pmatrix}$

ここで、$I$ は $n$ 次の単位行列です。

この式の両辺の行列式を取ると、

$\begin{vmatrix} A & B \\ C & O \end{vmatrix} \begin{vmatrix} O & I \\ I & -A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} B & O \\ O & C \end{vmatrix}$

行列式の性質から、

$\begin{vmatrix} A & B \\ C & O \end{vmatrix} \begin{vmatrix} O & I \\ I & -A \end{vmatrix} = |B| |C|$

ここで、$\begin{vmatrix} O & I \\ I & -A \end{vmatrix}$ を計算します。これは $2n$ 次の行列であり、

$\begin{vmatrix} O & I \\ I & -A \end{vmatrix} = (-1)^n |I| = (-1)^n$

したがって、

$\begin{vmatrix} A & B \\ C & O \end{vmatrix} (-1)^n = |B| |C|$

両辺に $(-1)^n$ をかけると、

$\begin{vmatrix} A & B \\ C & O \end{vmatrix} = (-1)^n |B| |C|$

3. 最終的な答え

$\begin{vmatrix} A & B \\ C & O \end{vmatrix} = (-1)^n |B| |C|$