与えられた表に基づいて、変数 $x$ と $y$ の以下の統計量を計算します。 (1) 平均 (2) 標準偏差 (3) 共分散 (4) 相関係数

1. 問題の内容

与えられた表に基づいて、変数 $x$ と $y$ の以下の統計量を計算します。

(1) 平均

(2) 標準偏差

(3) 共分散

(4) 相関係数

2. 解き方の手順

まず、表から$x$と$y$の確率分布を求めます。

$x$の確率分布:

- $x = 1$となる確率は、$\frac{4}{20} = \frac{1}{5} = 0.2$

- $x = 2$となる確率は、$\frac{10}{20} = \frac{1}{2} = 0.5$

- $x = 3$となる確率は、$\frac{6}{20} = \frac{3}{10} = 0.3$

$y$の確率分布:

- $y = 1$となる確率は、$\frac{6}{20} = \frac{3}{10} = 0.3$

- $y = 2$となる確率は、$\frac{10}{20} = \frac{1}{2} = 0.5$

- $y = 3$となる確率は、$\frac{4}{20} = \frac{1}{5} = 0.2$

(1) 平均:

$x$の平均 $E(x) = 1 \cdot \frac{1}{5} + 2 \cdot \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{3}{10} = \frac{1}{5} + 1 + \frac{9}{10} = \frac{2}{10} + \frac{10}{10} + \frac{9}{10} = \frac{21}{10} = 2.1$

$y$の平均 $E(y) = 1 \cdot \frac{3}{10} + 2 \cdot \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{10} + 1 + \frac{3}{5} = \frac{3}{10} + \frac{10}{10} + \frac{6}{10} = \frac{19}{10} = 1.9$

(2) 標準偏差:

$x$の分散 $V(x) = E(x^2) - E(x)^2$

$E(x^2) = 1^2 \cdot \frac{1}{5} + 2^2 \cdot \frac{1}{2} + 3^2 \cdot \frac{3}{10} = \frac{1}{5} + 2 + \frac{27}{10} = \frac{2}{10} + \frac{20}{10} + \frac{27}{10} = \frac{49}{10} = 4.9$

$V(x) = 4.9 - (2.1)^2 = 4.9 - 4.41 = 0.49$

$x$の標準偏差 $\sigma_x = \sqrt{V(x)} = \sqrt{0.49} = 0.7$

$y$の分散 $V(y) = E(y^2) - E(y)^2$

$E(y^2) = 1^2 \cdot \frac{3}{10} + 2^2 \cdot \frac{1}{2} + 3^2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{10} + 2 + \frac{9}{5} = \frac{3}{10} + \frac{20}{10} + \frac{18}{10} = \frac{41}{10} = 4.1$

$V(y) = 4.1 - (1.9)^2 = 4.1 - 3.61 = 0.49$

$y$の標準偏差 $\sigma_y = \sqrt{V(y)} = \sqrt{0.49} = 0.7$

(3) 共分散:

$Cov(x, y) = E(xy) - E(x)E(y)$

$E(xy) = \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} x_i y_j P(x=x_i, y=y_j)$

$E(xy) = (1\cdot1\cdot\frac{2}{20}) + (1\cdot2\cdot\frac{2}{20}) + (2\cdot1\cdot\frac{4}{20}) + (2\cdot2\cdot\frac{6}{20}) + (3\cdot2\cdot\frac{2}{20}) + (3\cdot3\cdot\frac{4}{20})$

$= \frac{2}{20} + \frac{4}{20} + \frac{8}{20} + \frac{24}{20} + \frac{12}{20} + \frac{36}{20} = \frac{86}{20} = 4.3$

$Cov(x, y) = 4.3 - (2.1)(1.9) = 4.3 - 3.99 = 0.31$

(4) 相関係数:

$\rho(x, y) = \frac{Cov(x, y)}{\sigma_x \sigma_y} = \frac{0.31}{0.7 \cdot 0.7} = \frac{0.31}{0.49} \approx 0.632653$

3. 最終的な答え

(1) $x$の平均: 2.1, $y$の平均: 1.9

(2) $x$の標準偏差: 0.7, $y$の標準偏差: 0.7

(3) $x$と$y$の共分散: 0.31

(4) $x$と$y$の相関係数: 約0.633