線形変換 $T(x)$ と $\mathbb{R}^3$ の基が与えられている。この基に関する $T$ の表現行列を求める。 線形変換は $T(x) = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ -1 & -3 & 1 \\ 2 & 5 & 2 \end{bmatrix}x$ で与えられ、$\mathbb{R}^3$ の基は $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $v_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $v_3 = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ である。

## (a) の問題

1. 問題の内容

線形変換 $T(x)$ と $\mathbb{R}^3$ の基が与えられている。この基に関する $T$ の表現行列を求める。

線形変換は $T(x) = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ -1 & -3 & 1 \\ 2 & 5 & 2 \end{bmatrix}x$ で与えられ、$\mathbb{R}^3$ の基は $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $v_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $v_3 = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ である。

2. 解き方の手順

まず、基の各ベクトルに線形変換 $T$ を適用する。

$T(v_1) = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ -1 & -3 & 1 \\ 2 & 5 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -4 \\ 7 \end{bmatrix}$

$T(v_2) = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ -1 & -3 & 1 \\ 2 & 5 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ -4 \\ 11 \end{bmatrix}$

$T(v_3) = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ -1 & -3 & 1 \\ 2 & 5 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ -5 \\ 13 \end{bmatrix}$

次に、$T(v_1)$, $T(v_2)$, $T(v_3)$ を基 $v_1, v_2, v_3$ の線形結合として表す。つまり、$T(v_i) = a_{1i}v_1 + a_{2i}v_2 + a_{3i}v_3$ を満たす $a_{1i}, a_{2i}, a_{3i}$ を求める。

$T(v_1) = a_{11}v_1 + a_{21}v_2 + a_{31}v_3$

$\begin{bmatrix} 2 \\ -4 \\ 7 \end{bmatrix} = a_{11} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + a_{21} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + a_{31} \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

この連立一次方程式を解く。

$\begin{cases} a_{11} + 2a_{21} + 3a_{31} = 2 \\ a_{11} + a_{21} + a_{31} = -4 \\ a_{21} + a_{31} = 7 \end{cases}$

第3式から $a_{21} = 7 - a_{31}$。これを第1式と第2式に代入する。

$\begin{cases} a_{11} + 2(7 - a_{31}) + 3a_{31} = 2 \\ a_{11} + (7 - a_{31}) + a_{31} = -4 \end{cases}$

$\begin{cases} a_{11} + 14 + a_{31} = 2 \\ a_{11} + 7 = -4 \end{cases}$

$\begin{cases} a_{11} + a_{31} = -12 \\ a_{11} = -11 \end{cases}$

$a_{31} = -12 - a_{11} = -12 - (-11) = -1$

$a_{21} = 7 - a_{31} = 7 - (-1) = 8$

したがって、$T(v_1) = -11v_1 + 8v_2 - v_3$

同様に、$T(v_2) = a_{12}v_1 + a_{22}v_2 + a_{32}v_3$

$\begin{bmatrix} 5 \\ -4 \\ 11 \end{bmatrix} = a_{12} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + a_{22} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + a_{32} \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

$\begin{cases} a_{12} + 2a_{22} + 3a_{32} = 5 \\ a_{12} + a_{22} + a_{32} = -4 \\ a_{22} + a_{32} = 11 \end{cases}$

$a_{22} = 11 - a_{32}$

$\begin{cases} a_{12} + 2(11 - a_{32}) + 3a_{32} = 5 \\ a_{12} + (11 - a_{32}) + a_{32} = -4 \end{cases}$

$\begin{cases} a_{12} + 22 + a_{32} = 5 \\ a_{12} + 11 = -4 \end{cases}$

$\begin{cases} a_{12} + a_{32} = -17 \\ a_{12} = -15 \end{cases}$

$a_{32} = -17 - a_{12} = -17 - (-15) = -2$

$a_{22} = 11 - a_{32} = 11 - (-2) = 13$

したがって、$T(v_2) = -15v_1 + 13v_2 - 2v_3$

最後に、$T(v_3) = a_{13}v_1 + a_{23}v_2 + a_{33}v_3$

$\begin{bmatrix} 7 \\ -5 \\ 13 \end{bmatrix} = a_{13} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + a_{23} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + a_{33} \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

$\begin{cases} a_{13} + 2a_{23} + 3a_{33} = 7 \\ a_{13} + a_{23} + a_{33} = -5 \\ a_{23} + a_{33} = 13 \end{cases}$

$a_{23} = 13 - a_{33}$

$\begin{cases} a_{13} + 2(13 - a_{33}) + 3a_{33} = 7 \\ a_{13} + (13 - a_{33}) + a_{33} = -5 \end{cases}$

$\begin{cases} a_{13} + 26 + a_{33} = 7 \\ a_{13} + 13 = -5 \end{cases}$

$\begin{cases} a_{13} + a_{33} = -19 \\ a_{13} = -18 \end{cases}$

$a_{33} = -19 - a_{13} = -19 - (-18) = -1$

$a_{23} = 13 - a_{33} = 13 - (-1) = 14$

したがって、$T(v_3) = -18v_1 + 14v_2 - v_3$

これらの係数を列として並べたものが表現行列となる。

3. 最終的な答え

表現行列は $\begin{bmatrix} -11 & -15 & -18 \\ 8 & 13 & 14 \\ -1 & -2 & -1 \end{bmatrix}$

## (b) の問題

1. 問題の内容

線形変換 $T(x)$ と $\mathbb{R}^3$ の基が与えられている。この基に関する $T$ の表現行列を求める。

線形変換は $T(x) = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 4 & 3 \end{bmatrix}x$ で与えられ、$\mathbb{R}^3$ の基は $v_1 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $v_3 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ である。

2. 解き方の手順

まず、基の各ベクトルに線形変換 $T$ を適用する。

$T(v_1) = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 4 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ -2 \\ 4 \end{bmatrix}$

$T(v_2) = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 4 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$

$T(v_3) = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 4 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}$

次に、$T(v_1)$, $T(v_2)$, $T(v_3)$ を基 $v_1, v_2, v_3$ の線形結合として表す。つまり、$T(v_i) = a_{1i}v_1 + a_{2i}v_2 + a_{3i}v_3$ を満たす $a_{1i}, a_{2i}, a_{3i}$ を求める。

$T(v_1) = a_{11}v_1 + a_{21}v_2 + a_{31}v_3$

$\begin{bmatrix} -1 \\ -2 \\ 4 \end{bmatrix} = a_{11} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + a_{21} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + a_{31} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

この連立一次方程式を解く。

$\begin{cases} a_{21} + 2a_{31} = -1 \\ a_{11} + a_{31} = -2 \\ a_{21} + a_{31} = 4 \end{cases}$

第1式から $a_{21} = -1 - 2a_{31}$。これを第3式に代入する。

$-1 - 2a_{31} + a_{31} = 4$

$-a_{31} = 5$

$a_{31} = -5$

$a_{21} = -1 - 2(-5) = -1 + 10 = 9$

$a_{11} = -2 - a_{31} = -2 - (-5) = 3$

したがって、$T(v_1) = 3v_1 + 9v_2 - 5v_3$

同様に、$T(v_2) = a_{12}v_1 + a_{22}v_2 + a_{32}v_3$

$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = a_{12} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + a_{22} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + a_{32} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

$\begin{cases} a_{22} + 2a_{32} = 1 \\ a_{12} + a_{32} = 2 \\ a_{22} + a_{32} = 1 \end{cases}$

第1式から $a_{22} = 1 - 2a_{32}$。これを第3式に代入する。

$1 - 2a_{32} + a_{32} = 1$

$-a_{32} = 0$

$a_{32} = 0$

$a_{22} = 1 - 2(0) = 1$

$a_{12} = 2 - a_{32} = 2 - 0 = 2$

したがって、$T(v_2) = 2v_1 + v_2 + 0v_3$

最後に、$T(v_3) = a_{13}v_1 + a_{23}v_2 + a_{33}v_3$

$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} = a_{13} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + a_{23} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + a_{33} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

$\begin{cases} a_{23} + 2a_{33} = 1 \\ a_{13} + a_{33} = 1 \\ a_{23} + a_{33} = 3 \end{cases}$

第1式から $a_{23} = 1 - 2a_{33}$。これを第3式に代入する。

$1 - 2a_{33} + a_{33} = 3$

$-a_{33} = 2$

$a_{33} = -2$

$a_{23} = 1 - 2(-2) = 1 + 4 = 5$

$a_{13} = 1 - a_{33} = 1 - (-2) = 3$

したがって、$T(v_3) = 3v_1 + 5v_2 - 2v_3$

これらの係数を列として並べたものが表現行列となる。

3. 最終的な答え

表現行列は $\begin{bmatrix} 3 & 2 & 3 \\ 9 & 1 & 5 \\ -5 & 0 & -2 \end{bmatrix}$

## (c) の問題

1. 問題の内容

線形変換 $T(f(x)) = 2f'(x) + 3f(x)$ が与えられている。これは、多項式環 $\mathbb{R}[x]_2$ から $\mathbb{R}[x]_2$ への写像である。$\mathbb{R}[x]_2$ の基 $\{1, x, x^2\}$ に関する $T$ の表現行列を求める。

2. 解き方の手順

まず、基の各ベクトルに線形変換 $T$ を適用する。

$T(1) = 2(0) + 3(1) = 3$

$T(x) = 2(1) + 3(x) = 2 + 3x$

$T(x^2) = 2(2x) + 3(x^2) = 4x + 3x^2$

次に、$T(1)$, $T(x)$, $T(x^2)$ を基 $\{1, x, x^2\}$ の線形結合として表す。

$T(1) = 3 = 3(1) + 0(x) + 0(x^2)$

$T(x) = 2 + 3x = 2(1) + 3(x) + 0(x^2)$

$T(x^2) = 4x + 3x^2 = 0(1) + 4(x) + 3(x^2)$

これらの係数を列として並べたものが表現行列となる。

3. 最終的な答え

表現行列は $\begin{bmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$

## (d) の問題

1. 問題の内容

線形変換 $T(f(x)) = 2f'(x) + 3f(x)$ が与えられている。これは、多項式環 $\mathbb{R}[x]_2$ から $\mathbb{R}[x]_2$ への写像である。$\mathbb{R}[x]_2$ の基 $\{1+x, x+x^2, 1-2x^2\}$ に関する $T$ の表現行列を求める。

2. 解き方の手順

まず、基の各ベクトルに線形変換 $T$ を適用する。

$T(1+x) = 2(1) + 3(1+x) = 2 + 3 + 3x = 5 + 3x$

$T(x+x^2) = 2(1+2x) + 3(x+x^2) = 2 + 4x + 3x + 3x^2 = 2 + 7x + 3x^2$

$T(1-2x^2) = 2(-4x) + 3(1-2x^2) = -8x + 3 - 6x^2 = 3 - 8x - 6x^2$

次に、$T(1+x)$, $T(x+x^2)$, $T(1-2x^2)$ を基 $\{1+x, x+x^2, 1-2x^2\}$ の線形結合として表す。

$T(1+x) = a_{11}(1+x) + a_{21}(x+x^2) + a_{31}(1-2x^2) = 5 + 3x$

$T(x+x^2) = a_{12}(1+x) + a_{22}(x+x^2) + a_{32}(1-2x^2) = 2 + 7x + 3x^2$

$T(1-2x^2) = a_{13}(1+x) + a_{23}(x+x^2) + a_{33}(1-2x^2) = 3 - 8x - 6x^2$

各方程式を解く。

$a_{11}(1+x) + a_{21}(x+x^2) + a_{31}(1-2x^2) = (a_{11} + a_{31}) + (a_{11} + a_{21})x + (a_{21} - 2a_{31})x^2 = 5 + 3x + 0x^2$

$\begin{cases} a_{11} + a_{31} = 5 \\ a_{11} + a_{21} = 3 \\ a_{21} - 2a_{31} = 0 \end{cases}$

第3式から $a_{21} = 2a_{31}$。これを第2式に代入する。

$a_{11} + 2a_{31} = 3$

$\begin{cases} a_{11} + a_{31} = 5 \\ a_{11} + 2a_{31} = 3 \end{cases}$

2つの式を引き算する。

$-a_{31} = 2$

$a_{31} = -2$

$a_{11} = 5 - a_{31} = 5 - (-2) = 7$

$a_{21} = 2a_{31} = 2(-2) = -4$

したがって、$T(1+x) = 7(1+x) - 4(x+x^2) - 2(1-2x^2)$

$a_{12}(1+x) + a_{22}(x+x^2) + a_{32}(1-2x^2) = (a_{12} + a_{32}) + (a_{12} + a_{22})x + (a_{22} - 2a_{32})x^2 = 2 + 7x + 3x^2$

$\begin{cases} a_{12} + a_{32} = 2 \\ a_{12} + a_{22} = 7 \\ a_{22} - 2a_{32} = 3 \end{cases}$

第2式から $a_{12} = 7 - a_{22}$。これを第1式に代入する。

$7 - a_{22} + a_{32} = 2$

$-a_{22} + a_{32} = -5$

$\begin{cases} a_{22} - 2a_{32} = 3 \\ -a_{22} + a_{32} = -5 \end{cases}$

2つの式を足し算する。

$-a_{32} = -2$

$a_{32} = 2$

$a_{22} = 3 + 2a_{32} = 3 + 2(2) = 7$

$a_{12} = 7 - a_{22} = 7 - 7 = 0$

したがって、$T(x+x^2) = 0(1+x) + 7(x+x^2) + 2(1-2x^2)$

$a_{13}(1+x) + a_{23}(x+x^2) + a_{33}(1-2x^2) = (a_{13} + a_{33}) + (a_{13} + a_{23})x + (a_{23} - 2a_{33})x^2 = 3 - 8x - 6x^2$

$\begin{cases} a_{13} + a_{33} = 3 \\ a_{13} + a_{23} = -8 \\ a_{23} - 2a_{33} = -6 \end{cases}$

第2式から $a_{13} = -8 - a_{23}$。これを第1式に代入する。

$-8 - a_{23} + a_{33} = 3$

$-a_{23} + a_{33} = 11$

$\begin{cases} a_{23} - 2a_{33} = -6 \\ -a_{23} + a_{33} = 11 \end{cases}$

2つの式を足し算する。

$-a_{33} = 5$

$a_{33} = -5$

$a_{23} = 11 + a_{33} = 11 - 5 = 6$

$a_{13} = -8 - a_{23} = -8 - 6 = -14$

したがって、$T(1-2x^2) = -14(1+x) + 6(x+x^2) - 5(1-2x^2)$

これらの係数を列として並べたものが表現行列となる。

3. 最終的な答え

表現行列は $\begin{bmatrix} 7 & 0 & -14 \\ -4 & 7 & 6 \\ -2 & 2 & -5 \end{bmatrix}$