関数 $f(t) = (t^2 + t)\sin t$ のラプラス変換を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(t) = (t^2 + t)\sin t$ のラプラス変換を求めます。

2. 解き方の手順

ラプラス変換の線形性より、$\mathcal{L}\{f(t)\} = \mathcal{L}\{t^2 \sin t\} + \mathcal{L}\{t \sin t\}$ を計算します。

まず、$\sin t$ のラプラス変換を求めます。

$\mathcal{L}\{\sin t\} = \frac{1}{s^2 + 1}$

次に、時間 $t$ をかける性質を利用します。$\mathcal{L}\{tf(t)\} = -\frac{d}{ds}\mathcal{L}\{f(t)\}$ です。

したがって、$\mathcal{L}\{t \sin t\} = -\frac{d}{ds} \left(\frac{1}{s^2+1}\right) = -\frac{-2s}{(s^2+1)^2} = \frac{2s}{(s^2+1)^2}$

さらに、$t^2 \sin t$ のラプラス変換を求めます。

$\mathcal{L}\{t^2 \sin t\} = \mathcal{L}\{t (t \sin t)\} = -\frac{d}{ds} \mathcal{L}\{t \sin t\} = -\frac{d}{ds} \left(\frac{2s}{(s^2+1)^2}\right)$

積の微分公式を使って微分を計算します。

$-\frac{d}{ds} \left(\frac{2s}{(s^2+1)^2}\right) = - \frac{2(s^2+1)^2 - 2s \cdot 2(s^2+1) \cdot 2s}{(s^2+1)^4} = - \frac{2(s^2+1) - 8s^2}{(s^2+1)^3} = - \frac{2s^2+2 - 8s^2}{(s^2+1)^3} = \frac{6s^2-2}{(s^2+1)^3}$

したがって、

$\mathcal{L}\{(t^2 + t)\sin t\} = \mathcal{L}\{t^2 \sin t\} + \mathcal{L}\{t \sin t\} = \frac{6s^2-2}{(s^2+1)^3} + \frac{2s}{(s^2+1)^2} = \frac{6s^2-2}{(s^2+1)^3} + \frac{2s(s^2+1)}{(s^2+1)^3} = \frac{6s^2-2+2s^3+2s}{(s^2+1)^3} = \frac{2s^3+6s^2+2s-2}{(s^2+1)^3}$

3. 最終的な答え

$\mathcal{L}\{(t^2 + t)\sin t\} = \frac{2s^3+6s^2+2s-2}{(s^2+1)^3}$