## 問題の回答

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ここでは、問題 7(1)、9(1)、10(1) の解答を示します。

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1. 問題の内容

* **7(1):** 曲面 $z = xy$ 上の点 $(1, 1, 1)$ における接平面と法線の方程式を求めよ。

* **9(1):** 曲線 $x^2 - xy + y^2 = 1$ 上の点 $(1, 0)$ における接線と法線の方程式を求めよ。

* **10(1):** 関数 $e^x \log(1 + y)$ のマクローリン展開を3次の項まで求めよ。

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2. 解き方の手順

#### 7(1)

1. 曲面 $z = f(x, y) = xy$ とおく。

2. 偏微分を計算する。

$f_x = y$

$f_y = x$

3. 点 $(1, 1)$ における偏微分の値を計算する。

$f_x(1, 1) = 1$

$f_y(1, 1) = 1$

4. 接平面の方程式は、

$z - f(1, 1) = f_x(1, 1)(x - 1) + f_y(1, 1)(y - 1)$

$z - 1 = 1(x - 1) + 1(y - 1)$

$z - 1 = x - 1 + y - 1$

$x + y - z = 1$

5. 法線ベクトルは $(f_x(1, 1), f_y(1, 1), -1) = (1, 1, -1)$ となる。

6. 法線の方程式は、

$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{-1}$

$x - 1 = y - 1 = -(z - 1)$

#### 9(1)

1. 関数 $F(x, y) = x^2 - xy + y^2 - 1 = 0$ とおく。

2. 偏微分を計算する。

$F_x = 2x - y$

$F_y = -x + 2y$

3. 点 $(1, 0)$ における偏微分の値を計算する。

$F_x(1, 0) = 2(1) - 0 = 2$

$F_y(1, 0) = -1 + 2(0) = -1$

4. 接線の方程式は、

$F_x(1, 0)(x - 1) + F_y(1, 0)(y - 0) = 0$

$2(x - 1) - 1(y - 0) = 0$

$2x - 2 - y = 0$

$2x - y = 2$

5. 法線の傾きは、接線の傾きの逆数にマイナスをつけたものとなる。接線の傾きは2なので、法線の傾きは$1/2$となる。

法線の方程式は、

$y - 0 = -1/2 (x - 1)$

$y = -1/2 x + 1/2$

$x + 2y = 1$

#### 10(1)

1. $f(x, y) = e^x \log(1 + y)$

2. マクローリン展開の公式は、

$f(x, y) = f(0, 0) + f_x(0, 0)x + f_y(0, 0)y + \frac{1}{2}f_{xx}(0, 0)x^2 + f_{xy}(0, 0)xy + \frac{1}{2}f_{yy}(0, 0)y^2 + ...$

3. 偏微分を計算する。

$f_x = e^x \log(1 + y)$

$f_y = \frac{e^x}{1 + y}$

$f_{xx} = e^x \log(1 + y)$

$f_{xy} = \frac{e^x}{1 + y}$

$f_{yy} = -\frac{e^x}{(1 + y)^2}$

$f_{xxx} = e^x \log(1+y)$

$f_{xxy} = \frac{e^x}{1+y}$

$f_{xyy} = -\frac{e^x}{(1+y)^2}$

$f_{yyy} = \frac{2e^x}{(1+y)^3}$

4. 原点における偏微分の値を計算する。

$f(0, 0) = 0$

$f_x(0, 0) = 0$

$f_y(0, 0) = 1$

$f_{xx}(0, 0) = 0$

$f_{xy}(0, 0) = 1$

$f_{yy}(0, 0) = -1$

$f_{xxx}(0,0) = 0$

$f_{xxy}(0,0) = 1$

$f_{xyy}(0,0) = -1$

$f_{yyy}(0,0) = 2$

5. マクローリン展開は、

$f(x, y) = 0 + 0x + 1y + 0x^2/2 + 1xy - 1y^2/2 + x^2y/2 -xy^2/2 + y^3/3 ...$

$f(x, y) = y + xy - \frac{y^2}{2} + \frac{x^2y}{2} - \frac{xy^2}{2} + \frac{y^3}{3} + ...$

3次の項までなので、

$f(x, y) = y + xy - \frac{y^2}{2} + \frac{x^2y}{2} - \frac{xy^2}{2} + \frac{y^3}{3}$

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3. 最終的な答え

* **7(1):** 接平面の方程式: $x + y - z = 1$, 法線の方程式: $x - 1 = y - 1 = -(z - 1)$

* **9(1):** 接線の方程式: $2x - y = 2$, 法線の方程式: $x + 2y = 1$

* **10(1):** $y + xy - \frac{y^2}{2} + \frac{x^2y}{2} - \frac{xy^2}{2} + \frac{y^3}{3}$