画像にある積分問題の中から、問題(4), (5), (6)を解きます。 問題(4): $\int \frac{\tan^3 x}{\cos^2 x} dx$ 問題(5): $\int \frac{e^{2x}}{(e^x + 3)^2} dx$ 問題(6): $\int \frac{1}{x \log x} dx$
2025/7/11
## 解答
1. 問題の内容
画像にある積分問題の中から、問題(4), (5), (6)を解きます。
問題(4):
問題(5):
問題(6):
2. 解き方の手順
### 問題(4):
1. $\tan x = u$ と置換すると、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{\cos^2 x}$ より $du = \frac{1}{\cos^2 x} dx$ となります。
2. 積分を置換します。
3. 積分を実行します。
4. $u$ を $\tan x$ に戻します。
### 問題(5):
1. $u = e^x + 3$ と置換すると、$\frac{du}{dx} = e^x$ より $du = e^x dx$ となります。 また、$e^x = u - 3$ なので、$e^{2x} = (u-3)^2$となり、$e^{2x}dx = (u-3)du$となります。
2. 積分を置換します。
3. 積分を実行します。
4. $u$ を $e^x + 3$ に戻します。
### 問題(6):
1. $u = \log x$ と置換すると、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{x}$ より $du = \frac{1}{x} dx$ となります。
2. 積分を置換します。
3. 積分を実行します。
4. $u$ を $\log x$ に戻します。
3. 最終的な答え
問題(4):
問題(5):
問題(6):