画像にある積分問題の中から、問題(4), (5), (6)を解きます。 問題(4): $\int \frac{\tan^3 x}{\cos^2 x} dx$ 問題(5): $\int \frac{e^{2x}}{(e^x + 3)^2} dx$ 問題(6): $\int \frac{1}{x \log x} dx$

解析学積分置換積分三角関数指数関数対数関数
2025/7/11
## 解答

1. 問題の内容

画像にある積分問題の中から、問題(4), (5), (6)を解きます。
問題(4): tan3xcos2xdx\int \frac{\tan^3 x}{\cos^2 x} dx
問題(5): e2x(ex+3)2dx\int \frac{e^{2x}}{(e^x + 3)^2} dx
問題(6): 1xlogxdx\int \frac{1}{x \log x} dx

2. 解き方の手順

### 問題(4): tan3xcos2xdx\int \frac{\tan^3 x}{\cos^2 x} dx

1. $\tan x = u$ と置換すると、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{\cos^2 x}$ より $du = \frac{1}{\cos^2 x} dx$ となります。

2. 積分を置換します。

tan3xcos2xdx=u3du\int \frac{\tan^3 x}{\cos^2 x} dx = \int u^3 du

3. 積分を実行します。

u3du=14u4+C\int u^3 du = \frac{1}{4} u^4 + C

4. $u$ を $\tan x$ に戻します。

14u4+C=14tan4x+C\frac{1}{4} u^4 + C = \frac{1}{4} \tan^4 x + C
### 問題(5): e2x(ex+3)2dx\int \frac{e^{2x}}{(e^x + 3)^2} dx

1. $u = e^x + 3$ と置換すると、$\frac{du}{dx} = e^x$ より $du = e^x dx$ となります。 また、$e^x = u - 3$ なので、$e^{2x} = (u-3)^2$となり、$e^{2x}dx = (u-3)du$となります。

2. 積分を置換します。

e2x(ex+3)2dx=(u3)duu2\int \frac{e^{2x}}{(e^x + 3)^2} dx = \int \frac{(u-3)du}{u^2}

3. 積分を実行します。

u3u2du=(1u3u2)du=1udu31u2du=logu+3u+C\int \frac{u-3}{u^2}du = \int (\frac{1}{u} - \frac{3}{u^2})du = \int \frac{1}{u} du - 3\int \frac{1}{u^2} du= \log |u| + \frac{3}{u} + C

4. $u$ を $e^x + 3$ に戻します。

logu+3u+C=log(ex+3)+3ex+3+C\log |u| + \frac{3}{u} + C = \log (e^x + 3) + \frac{3}{e^x + 3} + C
### 問題(6): 1xlogxdx\int \frac{1}{x \log x} dx

1. $u = \log x$ と置換すると、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{x}$ より $du = \frac{1}{x} dx$ となります。

2. 積分を置換します。

1xlogxdx=1udu\int \frac{1}{x \log x} dx = \int \frac{1}{u} du

3. 積分を実行します。

1udu=logu+C\int \frac{1}{u} du = \log |u| + C

4. $u$ を $\log x$ に戻します。

logu+C=loglogx+C\log |u| + C = \log |\log x| + C

3. 最終的な答え

問題(4): 14tan4x+C\frac{1}{4} \tan^4 x + C
問題(5): log(ex+3)+3ex+3+C\log (e^x + 3) + \frac{3}{e^x + 3} + C
問題(6): loglogx+C\log |\log x| + C

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