次の不定積分を求めます。 $\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4x + 5}} dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めます。

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4x + 5}} dx$

2. 解き方の手順

まず、根号の中の式を平方完成します。

$x^2 + 4x + 5 = (x^2 + 4x + 4) + 1 = (x + 2)^2 + 1$

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{1}{\sqrt{(x+2)^2 + 1}} dx$

ここで、$x+2 = \sinh{u}$ と置換します。すると、$dx = \cosh{u} du$ となります。

$\sqrt{(x+2)^2 + 1} = \sqrt{\sinh^2{u} + 1} = \sqrt{\cosh^2{u}} = \cosh{u}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{1}{\cosh{u}} \cosh{u} du = \int 1 du = u + C$

ここで、$x+2 = \sinh{u}$ より、$u = \sinh^{-1}(x+2)$ です。

$\sinh^{-1}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$ なので、$u = \ln(x+2 + \sqrt{(x+2)^2 + 1}) = \ln(x+2 + \sqrt{x^2 + 4x + 5})$ となります。

3. 最終的な答え

したがって、不定積分は次のようになります。

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4x + 5}} dx = \ln(x+2 + \sqrt{x^2 + 4x + 5}) + C$