与えられた問題は、極限の計算3問、ライプニッツの公式を用いた高階導関数の計算1問、不定積分の計算3問、定積分の計算4問です。

1. 問題の内容

与えられた問題は、極限の計算3問、ライプニッツの公式を用いた高階導関数の計算1問、不定積分の計算3問、定積分の計算4問です。

2. 解き方の手順

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1. 極限の計算**

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1}x}{2x}$

ロピタルの定理を用いると、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1}x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{2} = \frac{1}{2}$

(2) $\lim_{x \to 0} \sqrt{x} \log x$

$x = t^2$ と置くと、$x \to 0$ のとき $t \to 0$ なので、

$\lim_{x \to 0} \sqrt{x} \log x = \lim_{t \to 0} t \log(t^2) = \lim_{t \to 0} 2t \log t = 2 \lim_{t \to 0} \frac{\log t}{1/t}$

ロピタルの定理を用いると、

$2 \lim_{t \to 0} \frac{\log t}{1/t} = 2 \lim_{t \to 0} \frac{1/t}{-1/t^2} = 2 \lim_{t \to 0} (-t) = 0$

(3) $\lim_{x \to \infty} (1+x)^{\frac{1}{x}}$

$y = (1+x)^{\frac{1}{x}}$ とおくと、$\log y = \frac{1}{x} \log(1+x)$

$\lim_{x \to \infty} \log y = \lim_{x \to \infty} \frac{\log(1+x)}{x}$

ロピタルの定理を用いると、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log(1+x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1+x}}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1+x} = 0$

よって、$\lim_{x \to \infty} y = e^0 = 1$

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2. ライプニッツの公式**

$f(x) = (x^2 - 3x + 1)e^x$ の3階微分を求める。

$f'(x) = (2x - 3)e^x + (x^2 - 3x + 1)e^x = (x^2 - x - 2)e^x$

$f''(x) = (2x - 1)e^x + (x^2 - x - 2)e^x = (x^2 + x - 3)e^x$

$f'''(x) = (2x + 1)e^x + (x^2 + x - 3)e^x = (x^2 + 3x - 2)e^x$

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3. 不定積分の計算**

(1) $\int \frac{1+x^3}{x} dx = \int (\frac{1}{x} + x^2) dx = \log |x| + \frac{1}{3}x^3 + C$

(2) $\int x \sqrt{1-x} dx$

$u = 1-x$ とおくと、$x = 1-u$、$dx = -du$

$\int x \sqrt{1-x} dx = \int (1-u) \sqrt{u} (-du) = -\int (u^{1/2} - u^{3/2}) du = -(\frac{2}{3}u^{3/2} - \frac{2}{5}u^{5/2}) + C = -\frac{2}{3}(1-x)^{3/2} + \frac{2}{5}(1-x)^{5/2} + C$

(3) $\int x^2 \sin x dx$

部分積分を2回行う。

$\int x^2 \sin x dx = -x^2 \cos x + \int 2x \cos x dx = -x^2 \cos x + 2x \sin x - \int 2 \sin x dx = -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C$

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4. 定積分の計算**

(1) $\int_0^{\pi} x \cos x dx$

部分積分を行う。

$\int_0^{\pi} x \cos x dx = [x \sin x]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} \sin x dx = \pi \sin \pi - 0 \sin 0 + [\cos x]_0^{\pi} = 0 + \cos \pi - \cos 0 = -1 - 1 = -2$

(2) $\int_1^e x^2 \log x dx$

部分積分を行う。

$\int_1^e x^2 \log x dx = [\frac{1}{3}x^3 \log x]_1^e - \int_1^e \frac{1}{3}x^3 \frac{1}{x} dx = \frac{1}{3}e^3 \log e - \frac{1}{3}(1)^3 \log 1 - \frac{1}{3} \int_1^e x^2 dx = \frac{1}{3}e^3 - 0 - \frac{1}{3} [\frac{1}{3}x^3]_1^e = \frac{1}{3}e^3 - \frac{1}{9}(e^3 - 1) = \frac{2}{9}e^3 + \frac{1}{9}$

(3) $\int_0^1 x(x^2 - 1)^5 dx$

$u = x^2 - 1$ とおくと、$du = 2x dx$

$\int_0^1 x(x^2 - 1)^5 dx = \int_{-1}^0 u^5 \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} [\frac{1}{6}u^6]_{-1}^0 = \frac{1}{12} [0^6 - (-1)^6] = -\frac{1}{12}$

(4) $\int_0^4 \frac{x}{\sqrt{2x+1}} dx$

$u = \sqrt{2x+1}$ とおくと、$u^2 = 2x+1$、$x = \frac{u^2-1}{2}$、$dx = u du$

$\int_0^4 \frac{x}{\sqrt{2x+1}} dx = \int_1^3 \frac{\frac{u^2-1}{2}}{u} u du = \int_1^3 \frac{u^2-1}{2} du = \frac{1}{2} [\frac{1}{3}u^3 - u]_1^3 = \frac{1}{2} [(\frac{1}{3}(3^3) - 3) - (\frac{1}{3}(1^3) - 1)] = \frac{1}{2} [(9 - 3) - (\frac{1}{3} - 1)] = \frac{1}{2} [6 + \frac{2}{3}] = \frac{1}{2} [\frac{20}{3}] = \frac{10}{3}$

3. 最終的な答え

1. (1) 1/2

(2) 0

(3) 1

2. $(x^2 + 3x - 2)e^x$

3. (1) $\log |x| + \frac{1}{3}x^3 + C$

(2) $-\frac{2}{3}(1-x)^{3/2} + \frac{2}{5}(1-x)^{5/2} + C$

(3) $-x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C$

4. (1) -2

(2) $\frac{2}{9}e^3 + \frac{1}{9}$

(3) -1/12

(4) 10/3