関数 $f(x,y) = x^3 - 3axy + y^3 = b$ ($a > 0$, $b \neq 0$)で表される曲線$C$が特異点を持つとき、以下の問いに答えます。 (1) $a, b$が満たすべき条件を求めます。 (2) 曲線$C$上で、$y = mx + n$が恒等的に満たされる$m, n$を求めます。 (3) $x^2 - xy + y^2 - ax - ay + a^2 = 0$ の解$(x, y)$を求めます。 (4) 曲線$C$を図示します。

はい、承知しました。問題文を読み解き、順番に解いていきます。

1. 問題の内容

関数 $f(x,y) = x^3 - 3axy + y^3 = b$ ($a > 0$, $b \neq 0$)で表される曲線$C$が特異点を持つとき、以下の問いに答えます。

(1) $a, b$が満たすべき条件を求めます。

(2) 曲線$C$上で、$y = mx + n$が恒等的に満たされる$m, n$を求めます。

(3) $x^2 - xy + y^2 - ax - ay + a^2 = 0$ の解$(x, y)$を求めます。

(4) 曲線$C$を図示します。

2. 解き方の手順

(1) 特異点を持つ条件

特異点とは、$\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ かつ $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$となる点です。

まず、偏微分を計算します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 - 3ay = 0$

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3y^2 - 3ax = 0$

これから、$x^2 = ay$と$y^2 = ax$が得られます。

$x^2 = ay$を$y$について解くと、$y = \frac{x^2}{a}$となります。

これを$y^2 = ax$に代入すると、$(\frac{x^2}{a})^2 = ax$が得られます。

整理すると、$\frac{x^4}{a^2} = ax$となり、$x^4 = a^3x$となります。

$x(x^3 - a^3) = 0$なので、$x = 0$または$x = a$です。

- $x = 0$のとき、$y = \frac{0^2}{a} = 0$となり、$f(0, 0) = 0^3 - 3a(0)(0) + 0^3 = 0 = b$となります。問題文の条件より$b \neq 0$なので、$x = 0$は不適です。

- $x = a$のとき、$y = \frac{a^2}{a} = a$となり、$f(a, a) = a^3 - 3a(a)(a) + a^3 = a^3 - 3a^3 + a^3 = -a^3 = b$となります。

したがって、$b = -a^3$となります。また、$a > 0$なので、$b < 0$となります。

(2) $y = mx + n$が曲線$C$上で恒等的に満たされる条件

まず、$x^3 - 3axy + y^3 = b$に$y = mx + n$を代入します。

$x^3 - 3ax(mx + n) + (mx + n)^3 = b$

$x^3 - 3amx^2 - 3anx + m^3x^3 + 3m^2nx^2 + 3mn^2x + n^3 = b$

$(1 + m^3)x^3 + (3m^2n - 3am)x^2 + (3mn^2 - 3an)x + n^3 - b = 0$

これが恒等的に成り立つためには、各係数が0でなければなりません。

$1 + m^3 = 0$

$3m^2n - 3am = 0$

$3mn^2 - 3an = 0$

$n^3 - b = 0$

$1 + m^3 = 0$より、$m^3 = -1$なので、$m = -1$です。

$3m^2n - 3am = 0$より、$3n + 3a = 0$なので、$n = -a$です。

$3mn^2 - 3an = 0$より、$3(-1)a^2 + 3a^2 = 0$となり、これは常に成り立ちます。

$n^3 - b = 0$より、$(-a)^3 = b$なので、$b = -a^3$です。これは(1)の結果と一致します。

したがって、$m = -1$, $n = -a$です。

(3) $x^2 - xy + y^2 - ax - ay + a^2 = 0$ の解$(x, y)$

この式を変形します。

$x^2 - x(y + a) + y^2 - ay + a^2 = 0$

$x$について解くと、

$x = \frac{(y + a) \pm \sqrt{(y + a)^2 - 4(y^2 - ay + a^2)}}{2} = \frac{(y + a) \pm \sqrt{y^2 + 2ay + a^2 - 4y^2 + 4ay - 4a^2}}{2}$

$x = \frac{(y + a) \pm \sqrt{-3y^2 + 6ay - 3a^2}}{2} = \frac{(y + a) \pm \sqrt{-3(y - a)^2}}{2}$

実数解を持つためには、$-3(y - a)^2 \geq 0$である必要があります。

しかし、$-3(y - a)^2$は常に0以下なので、これが成り立つのは$y = a$のときのみです。

$y = a$を代入すると、$x = \frac{(a + a) \pm \sqrt{0}}{2} = \frac{2a}{2} = a$

したがって、解は$(x, y) = (a, a)$です。

(4) 曲線$C$の図示

$f(x,y) = x^3 - 3axy + y^3 = b = -a^3$

$x^3 - 3axy + y^3 = -a^3$

これは、葉線(Folium of Descartes)と呼ばれる曲線です。漸近線は$x + y + a = 0$となります。

3. 最終的な答え

(1) $b = -a^3$

(2) $m = -1$, $n = -a$

(3) $(x, y) = (a, a)$

(4) 曲線$C$は$x^3 - 3axy + y^3 = -a^3$で表される葉線であり、漸近線は$x + y + a = 0$である。