関数 $f(x,y) = \sin^{-1}(\frac{y}{x})$ の全微分を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x,y) = \sin^{-1}(\frac{y}{x})$ の全微分を求めよ。

2. 解き方の手順

全微分は以下の式で与えられます。

$df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy$

まず、$\frac{\partial f}{\partial x}$ を計算します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \sin^{-1}(\frac{y}{x}) = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{y}{x})^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial x} (\frac{y}{x}) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{y^2}{x^2}}} \cdot (-\frac{y}{x^2}) = \frac{1}{\sqrt{\frac{x^2-y^2}{x^2}}} \cdot (-\frac{y}{x^2}) = \frac{|x|}{\sqrt{x^2-y^2}} \cdot (-\frac{y}{x^2})$

$x > 0$ の場合、$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2-y^2}} \cdot (-\frac{y}{x^2}) = -\frac{y}{x\sqrt{x^2-y^2}}$

次に、$\frac{\partial f}{\partial y}$ を計算します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \sin^{-1}(\frac{y}{x}) = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{y}{x})^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial y} (\frac{y}{x}) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{y^2}{x^2}}} \cdot (\frac{1}{x}) = \frac{|x|}{\sqrt{x^2-y^2}} \cdot \frac{1}{x}$

$x > 0$ の場合、$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x}{\sqrt{x^2-y^2}} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{x^2-y^2}}$

したがって、全微分は

$df = -\frac{y}{x\sqrt{x^2-y^2}}dx + \frac{1}{\sqrt{x^2-y^2}}dy = \frac{-ydx + xdy}{x\sqrt{x^2-y^2}}$

3. 最終的な答え

$df = \frac{-ydx + xdy}{x\sqrt{x^2-y^2}}$