与えられた関数 $y = \cos^2 x - 2 \sin x \cos x + 3 \sin^2 x$ について、 (1) $y$ を $\sin 2x$ と $\cos 2x$ で表せ。 (2) $0 \le x \le \pi$ の範囲で、$y$ の最大値、最小値、およびそれらを与える $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \cos^2 x - 2 \sin x \cos x + 3 \sin^2 x$ について、

(1) $y$ を $\sin 2x$ と $\cos 2x$ で表せ。

(2) $0 \le x \le \pi$ の範囲で、$y$ の最大値、最小値、およびそれらを与える $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $y$ を $\sin 2x$ と $\cos 2x$ で表す。

$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$

$\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$

これらの公式を $y$ に代入すると、

$y = \frac{1 + \cos 2x}{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} \sin 2x + 3 \cdot \frac{1 - \cos 2x}{2}$

$y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 2x - \sin 2x + \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cos 2x$

$y = 2 - \cos 2x - \sin 2x$

(2) $y = 2 - \cos 2x - \sin 2x$ の最大値と最小値を求める。

$y = 2 - (\cos 2x + \sin 2x)$

$\cos 2x + \sin 2x = \sqrt{2} \sin (2x + \frac{\pi}{4})$

したがって、

$y = 2 - \sqrt{2} \sin (2x + \frac{\pi}{4})$

$0 \le x \le \pi$ より、$\frac{\pi}{4} \le 2x + \frac{\pi}{4} \le 2\pi + \frac{\pi}{4}$

$\sin (2x + \frac{\pi}{4})$ の最大値は1、最小値は-1である。

$\sin (2x + \frac{\pi}{4}) = 1$ のとき、$2x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ より、$2x = \frac{\pi}{4}$ よって $x = \frac{\pi}{8}$

$\sin (2x + \frac{\pi}{4}) = -1$ のとき、$2x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$ より、$2x = \frac{5\pi}{4}$ よって $x = \frac{5\pi}{8}$

$y$ の最大値は、$y = 2 - \sqrt{2} (-1) = 2 + \sqrt{2}$ で、このとき $x = \frac{5\pi}{8}$ である。

$y$ の最小値は、$y = 2 - \sqrt{2} (1) = 2 - \sqrt{2}$ で、このとき $x = \frac{\pi}{8}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $y = 2 - \cos 2x - \sin 2x$

(2) 最大値: $2 + \sqrt{2}$ ($x = \frac{5\pi}{8}$)、最小値: $2 - \sqrt{2}$ ($x = \frac{\pi}{8}$)