関数 $\frac{e^x + e^{-x}}{2}$ の $x^{20}$ の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $\frac{e^x + e^{-x}}{2}$ の $x^{20}$ の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

$e^x$ と $e^{-x}$ をそれぞれマクローリン展開します。

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$

$e^{-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^n}{n!} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \dots$

したがって、

$e^x + e^{-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n + (-x)^n}{n!}$

$x^n + (-x)^n$ は、$n$ が奇数のとき $x^n - x^n = 0$ となり、$n$ が偶数のとき $x^n + x^n = 2x^n$ となります。そこで、$n=2k$ とおくと、

$e^x + e^{-x} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2x^{2k}}{(2k)!}$

よって、

$\frac{e^x + e^{-x}}{2} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k}}{(2k)!}$

$x^{20}$ の係数は、$2k = 20$ となる $k=10$ のときであり、$\frac{1}{(2 \times 10)!} = \frac{1}{20!}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{20!}$