3つの数の大小を比較する問題です。 与えられた数は $\log_2 3$, $\log_3 2$, $\log_4 8$ です。

1. 問題の内容

3つの数の大小を比較する問題です。

与えられた数は $\log_2 3$, $\log_3 2$, $\log_4 8$ です。

2. 解き方の手順

まず、$\log_4 8$を簡単にします。

$8 = 2^3$、 $4 = 2^2$ なので、

$\log_4 8 = \log_{2^2} 2^3 = \frac{3}{2} \log_2 2 = \frac{3}{2} = 1.5$

次に、$\log_2 3$と$\log_3 2$を比較します。

$y = \log_2 x$ は単調増加関数であるため、$\log_2 2 = 1$ より $\log_2 3 > 1$ です。

$y = \log_3 x$ も単調増加関数であるため、$\log_3 3 = 1$ より $\log_3 2 < 1$ です。

したがって、$\log_2 3 > 1$ かつ $\log_3 2 < 1$ であるため、$\log_2 3 > \log_3 2$ が成り立ちます。

$\log_2 3$ と $\frac{3}{2}$を比較します。

$\log_2 3 > \frac{3}{2}$かどうかを確認します。

$2^{\frac{3}{2}} = 2^{1.5} = 2 \sqrt{2} \approx 2 \times 1.414 = 2.828 < 3$ なので、$\log_2 3 > \frac{3}{2}$が成り立ちます。

したがって、$\log_2 3 > \frac{3}{2} > \log_3 2$ です。

3. 最終的な答え

$\log_3 2 < \log_4 8 < \log_2 3$