$\frac{x}{(1-x)^2}$ の展開式における $x^{100}$ の係数を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{x}{(1-x)^2}$ の展開式における $x^{100}$ の係数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{(1-x)^2}$ を展開することを考えます。

$\frac{1}{1-x}$ のマクローリン展開は、

$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots$

となります。この式を微分すると、

$\frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n=1}^{\infty} nx^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)x^n = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \dots$

となります。

したがって、

$\frac{x}{(1-x)^2} = x \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)x^n = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)x^{n+1}$

となります。ここで、n+1=100となるようなnを考えると、n=99です。

したがって、$x^{100}$ の係数は $99+1 = 100$ となります。

3. 最終的な答え

100