行列 $A = \begin{bmatrix} 2 & b \\ c & -2 \end{bmatrix}$ について、以下の問いに答えます。 (1) $A$ が対角化できないような $b, c$ の値を定める。ただし、答えは無数にあるので数値例を一組だけ挙げます。 (2) 前問で挙げた数値 $b, c$ に対して、正則行列 $P$ をうまく定めて $P^{-1}AP$ をジョルダン標準形にします。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} 2 & b \\ c & -2 \end{bmatrix}$ について、以下の問いに答えます。

(1) $A$ が対角化できないような $b, c$ の値を定める。ただし、答えは無数にあるので数値例を一組だけ挙げます。

(2) 前問で挙げた数値 $b, c$ に対して、正則行列 $P$ をうまく定めて $P^{-1}AP$ をジョルダン標準形にします。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A$ が対角化できない条件を考えます。$A$ が対角化できないのは、$A$ の固有値が重解を持ち、かつ固有空間の次元が1であるときです。まず、$A$ の固有方程式を求めます。

$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 2-\lambda & b \\ c & -2-\lambda \end{vmatrix} = (2-\lambda)(-2-\lambda) - bc = \lambda^2 - 4 - bc = 0$

この固有方程式の解は、

$\lambda = \pm \sqrt{4+bc}$

となります。

$A$ が対角化できないためには、固有値が重解を持つ必要があります。つまり、$4+bc = 0$ となる必要があります。したがって、$bc = -4$ です。

例えば、$b = 1, c = -4$ とすると、$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -4 & -2 \end{bmatrix}$ となり、固有値は $\lambda = 0$ (重解) となります。

(2) $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -4 & -2 \end{bmatrix}$ のジョルダン標準形を求めます。固有値は $\lambda = 0$ (重解) です。

次に、$(A - \lambda I)v = 0$ を満たす固有ベクトル $v$ を求めます。

$(A - 0I)v = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -4 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

この連立方程式は、$2x + y = 0$ を意味します。例えば、$x = 1$ とすると、$y = -2$ となり、固有ベクトル $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix}$ が得られます。

固有空間の次元は1なので、$A$ は対角化できません。

ジョルダン標準形にするためには、$(A - \lambda I)v_2 = v_1$ となるベクトル $v_2$ を求めます。

$\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -4 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix}$

この連立方程式は、$2x + y = 1$ を意味します。例えば、$x = 0$ とすると、$y = 1$ となり、$v_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ が得られます。

したがって、正則行列 $P = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$ とすると、$P^{-1}AP = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ となります。

実際に計算してみましょう。

$P^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ ですから、

$P^{-1}AP = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -4 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $b = 1, c = -4$

(2) $P = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}, P^{-1}AP = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$