与えられた曲線上の点における接線と法線の方程式を求める問題です。 (1) 曲線 $x^2 - xy + y^2 = 1$ の点 $(1, 0)$ における接線と法線の方程式 (2) 曲線 $x - y^2 e^x = 0$ の点 $(4, 2/e^2)$ における接線と法線の方程式

1. 問題の内容

与えられた曲線上の点における接線と法線の方程式を求める問題です。

(1) 曲線 $x^2 - xy + y^2 = 1$ の点 $(1, 0)$ における接線と法線の方程式

(2) 曲線 $x - y^2 e^x = 0$ の点 $(4, 2/e^2)$ における接線と法線の方程式

2. 解き方の手順

(1) 曲線 $x^2 - xy + y^2 = 1$ の点 $(1, 0)$ における接線と法線の方程式

陰関数微分を使って、$dy/dx$を求める。

$x^2 - xy + y^2 = 1$を$x$で微分する。

$2x - (y + x\frac{dy}{dx}) + 2y\frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx}(2y - x) = y - 2x$

$\frac{dy}{dx} = \frac{y - 2x}{2y - x}$

点$(1, 0)$における傾きを求める。

$\frac{dy}{dx}|_{(1, 0)} = \frac{0 - 2(1)}{2(0) - 1} = \frac{-2}{-1} = 2$

接線の方程式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$

$y - 0 = 2(x - 1)$

$y = 2x - 2$

法線の方程式は、$y - y_1 = -\frac{1}{m}(x - x_1)$

$y - 0 = -\frac{1}{2}(x - 1)$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$

(2) 曲線 $x - y^2 e^x = 0$ の点 $(4, 2/e^2)$ における接線と法線の方程式

陰関数微分を使って、$dy/dx$を求める。

$x - y^2 e^x = 0$を$x$で微分する。

$1 - (2y \frac{dy}{dx} e^x + y^2 e^x) = 0$

$1 - 2y e^x \frac{dy}{dx} - y^2 e^x = 0$

$2y e^x \frac{dy}{dx} = 1 - y^2 e^x$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1 - y^2 e^x}{2y e^x}$

点$(4, 2/e^2)$における傾きを求める。

$\frac{dy}{dx}|_{(4, 2/e^2)} = \frac{1 - (2/e^2)^2 e^4}{2(2/e^2) e^4} = \frac{1 - (4/e^4) e^4}{(4/e^2) e^4} = \frac{1 - 4}{(4 e^2)} = \frac{-3}{4 e^2}$

接線の方程式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$

$y - \frac{2}{e^2} = \frac{-3}{4 e^2} (x - 4)$

$y = \frac{-3}{4 e^2} x + \frac{3}{e^2} + \frac{2}{e^2}$

$y = \frac{-3}{4 e^2} x + \frac{5}{e^2}$

法線の方程式は、$y - y_1 = -\frac{1}{m}(x - x_1)$

$y - \frac{2}{e^2} = \frac{4 e^2}{3} (x - 4)$

$y = \frac{4 e^2}{3} x - \frac{16 e^2}{3} + \frac{2}{e^2}$

3. 最終的な答え

(1) 接線：$y = 2x - 2$　法線：$y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$

(2) 接線：$y = \frac{-3}{4 e^2} x + \frac{5}{e^2}$　法線：$y = \frac{4 e^2}{3} x - \frac{16 e^2}{3} + \frac{2}{e^2}$