## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた3つの問題について、それぞれ以下の内容を求めます。

1. 曲線 $xy + y^3 = 3$ 上の点 $(2, 1)$ における法線について、$y = 3$ のときの $x$ の値を求める。

2. 連立方程式 $x^2 + y^2 + z^2 - 4z = 0$ と $x - y + 4z = 0$ について、点 $(x, y, z) = (-\frac{8}{9}, \frac{8}{9}, \frac{4}{9})$ での $\frac{dy}{dx}$ と $\frac{dz}{dx}$ の値を求める。

3. 関数 $u = e^x \cos y$ と $v = e^x \sin y$ について、$x = x(u, v)$ および $y = y(u, v)$ とみなし、点 $(x, y) = (0, \frac{\pi}{2})$ での $\frac{\partial x}{\partial v}$ と $\frac{\partial y}{\partial v}$ の値を求める。

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2. 解き方の手順

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1. 法線の問題

1. 曲線 $xy + y^3 = 3$ を $x$ で微分して、$\frac{dy}{dx}$ を求める。

$\frac{d}{dx}(xy + y^3) = \frac{d}{dx}(3)$

$y + x\frac{dy}{dx} + 3y^2\frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx}(x + 3y^2) = -y$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x + 3y^2}$

2. 点 $(2, 1)$ における $\frac{dy}{dx}$ の値を求める。

$\frac{dy}{dx}|_{(2, 1)} = -\frac{1}{2 + 3(1)^2} = -\frac{1}{5}$

3. 点 $(2, 1)$ における法線の傾きは、接線の傾きの逆数に負号をつけたものなので、 $m = 5$ となる。

4. 点 $(2, 1)$ を通り、傾き $5$ の直線（法線）の方程式を求める。

$y - 1 = 5(x - 2)$

$y = 5x - 10 + 1$

$y = 5x - 9$

5. 法線上で $y = 3$ となる $x$ の値を求める。

$3 = 5x - 9$

$5x = 12$

$x = \frac{12}{5}$

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2. 連立方程式の問題

1. $x^2 + y^2 + z^2 - 4z = 0$ を $x$ で微分する。

$2x + 2y\frac{dy}{dx} + 2z\frac{dz}{dx} - 4\frac{dz}{dx} = 0$

$x + y\frac{dy}{dx} + (z - 2)\frac{dz}{dx} = 0$ ...(1)

2. $x - y + 4z = 0$ を $x$ で微分する。

$1 - \frac{dy}{dx} + 4\frac{dz}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx} = 1 + 4\frac{dz}{dx}$ ...(2)

3. (2)を(1)に代入する。

$x + y(1 + 4\frac{dz}{dx}) + (z - 2)\frac{dz}{dx} = 0$

$x + y + 4y\frac{dz}{dx} + (z - 2)\frac{dz}{dx} = 0$

$\frac{dz}{dx}(4y + z - 2) = -(x + y)$

$\frac{dz}{dx} = -\frac{x + y}{4y + z - 2}$

4. 点 $(-\frac{8}{9}, \frac{8}{9}, \frac{4}{9})$ における $\frac{dz}{dx}$ の値を求める。

$\frac{dz}{dx}|_{(-\frac{8}{9}, \frac{8}{9}, \frac{4}{9})} = -\frac{-\frac{8}{9} + \frac{8}{9}}{4(\frac{8}{9}) + \frac{4}{9} - 2} = -\frac{0}{\frac{32}{9} + \frac{4}{9} - \frac{18}{9}} = -\frac{0}{\frac{18}{9}} = 0$

5. $\frac{dy}{dx}$ の値を求める。(2)より

$\frac{dy}{dx} = 1 + 4\frac{dz}{dx} = 1 + 4(0) = 1$

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3. 偏微分の問題

1. $u = e^x \cos y$ と $v = e^x \sin y$ より、ヤコビアンを計算する。

$J = \frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} e^x \cos y & -e^x \sin y \\ e^x \sin y & e^x \cos y \end{vmatrix} = e^{2x}(\cos^2 y + \sin^2 y) = e^{2x}$

2. 逆関数の微分公式より、

$\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} = \frac{1}{J} = e^{-2x}$

$\frac{\partial x}{\partial v} = \frac{1}{J} \frac{\partial v}{\partial y} = e^{-2x} (e^x \cos y) = e^{-x} \cos y$

$\frac{\partial y}{\partial v} = - \frac{1}{J} \frac{\partial v}{\partial x} = - e^{-2x} (e^x \sin y) = - e^{-x} \sin y$

3. 点 $(x, y) = (0, \frac{\pi}{2})$ における $\frac{\partial x}{\partial v}$ と $\frac{\partial y}{\partial v}$ の値を求める。

$\frac{\partial x}{\partial v}|_{(0, \frac{\pi}{2})} = e^{-0} \cos(\frac{\pi}{2}) = 1 \cdot 0 = 0$

$\frac{\partial y}{\partial v}|_{(0, \frac{\pi}{2})} = - e^{-0} \sin(\frac{\pi}{2}) = -1 \cdot 1 = -1$

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3. 最終的な答え

1. 法線の問題: $x = \frac{12}{5}$

2. 連立方程式の問題: $\frac{dy}{dx} = 1$, $\frac{dz}{dx} = 0$

3. 偏微分の問題: $\frac{\partial x}{\partial v} = 0$, $\frac{\partial y}{\partial v} = -1$