2次関数 $y = x^2 + 8x + 4a + 1$ の最小値が $-13$ であるとき、定数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + 8x + 4a + 1$ の最小値が $-13$ であるとき、定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = x^2 + 8x + 4a + 1$

$y = (x^2 + 8x) + 4a + 1$

$y = (x^2 + 8x + 16 - 16) + 4a + 1$

$y = (x + 4)^2 - 16 + 4a + 1$

$y = (x + 4)^2 + 4a - 15$

この2次関数は $x = -4$ のとき最小値をとる。最小値は $4a - 15$ である。

問題文より、最小値は $-13$ であるから、

$4a - 15 = -13$

$4a = -13 + 15$

$4a = 2$

$a = \frac{2}{4}$

$a = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$a = \frac{1}{2}$