袋の中に赤玉5個、白玉4個が入っている。袋から玉を1個取り出し、取り出した玉と同じ色の玉を1個加えて袋に戻す。この操作を3回繰り返した後に、袋の中の赤玉と白玉の数が等しくなる確率を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉5個、白玉4個が入っている。袋から玉を1個取り出し、取り出した玉と同じ色の玉を1個加えて袋に戻す。この操作を3回繰り返した後に、袋の中の赤玉と白玉の数が等しくなる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

3回の操作後、赤玉と白玉が同数になるためには、赤玉と白玉の個数が共に$n$個である必要がある。最初の赤玉の個数は5個、白玉の個数は4個なので、合計で9個の玉が入っている。3回の操作の後、玉の総数は$9+3=12$個になる。赤玉と白玉が同数になるためには、それぞれ$12/2=6$個ずつになる必要がある。

つまり、3回の操作で赤玉が1個増え、白玉が2個増えるか、赤玉が2個増え、白玉が1個増える必要がある。

(i) 赤玉が1回増え、白玉が2回増える場合:

この場合、3回の操作は「赤、白、白」、「白、赤、白」、「白、白、赤」のいずれかの順序で行われる必要がある。

- 1回目に赤玉を取り出す確率は$5/9$。

- 2回目に白玉を取り出す確率は$4/10$。

- 3回目に白玉を取り出す確率は$5/11$。

したがって、この順序で取り出す確率は、

$\frac{5}{9} \times \frac{4}{10} \times \frac{5}{11} = \frac{100}{990} = \frac{10}{99}$

この順序は3通りあるので、この場合の確率は、

$3 \times \frac{10}{99} = \frac{30}{99} = \frac{10}{33}$

(ii) 赤玉が2回増え、白玉が1回増える場合:

この場合、3回の操作は「赤、赤、白」、「赤、白、赤」、「白、赤、赤」のいずれかの順序で行われる必要がある。

- 1回目に赤玉を取り出す確率は$5/9$。

- 2回目に赤玉を取り出す確率は$6/10$。

- 3回目に白玉を取り出す確率は$4/11$。

したがって、この順序で取り出す確率は、

$\frac{5}{9} \times \frac{6}{10} \times \frac{4}{11} = \frac{120}{990} = \frac{4}{33}$

この順序は3通りあるので、この場合の確率は、

$3 \times \frac{4}{33} = \frac{12}{33} = \frac{4}{11}$

したがって、求める確率は、

$\frac{10}{33} + \frac{4}{11} = \frac{10}{33} + \frac{12}{33} = \frac{22}{33} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}$