1から6までの番号が書かれた白い球6個と赤い球6個が入った箱から、球を1個ずつ順に4個取り出す。ただし、取り出した球は元に戻さない。以下の確率をそれぞれ求める問題です。 (1) 3番目の球を取り出したときに、初めて同じ番号の白い球と赤い球がそろう確率 (2) 4番目の球を取り出したときに、初めて同じ番号の白い球と赤い球がそろう確率 (3) 取り出した4個の球の中に、同じ番号の白い球と赤い球の組がちょうど1組だけ含まれる確率

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、順番に解答します。

1. 問題の内容

1から6までの番号が書かれた白い球6個と赤い球6個が入った箱から、球を1個ずつ順に4個取り出す。ただし、取り出した球は元に戻さない。以下の確率をそれぞれ求める問題です。

(1) 3番目の球を取り出したときに、初めて同じ番号の白い球と赤い球がそろう確率

(2) 4番目の球を取り出したときに、初めて同じ番号の白い球と赤い球がそろう確率

(3) 取り出した4個の球の中に、同じ番号の白い球と赤い球の組がちょうど1組だけ含まれる確率

2. 解き方の手順

(1) 3番目の球を取り出したときに、初めて同じ番号の白い球と赤い球がそろう確率

* 1番目と2番目に取り出す球は、同じ番号の白い球と赤い球のペアではない必要があります。

* 3番目に取り出す球で初めて同じ番号の白い球と赤い球がそろう必要があります。

まず、全事象の数を計算します。これは、12個の球から3個を取り出す順列なので、

$12 \times 11 \times 10 = 1320$通りです。

次に、題意を満たす事象の数を計算します。

1番目に取り出す球は、何でも良いので12通りです。

2番目に取り出す球は、1番目に取り出した球と同じ番号ではない必要があります。同じ番号の球はもう1つあるので、残り10通りです。

3番目に取り出す球は、1番目と2番目で出ていないペアのどちらかの色で、番号が一致している必要があります。そのためには2通りです。

よって、題意を満たす事象の数は、$12 \times 10 \times 2 = 240$通りです。

したがって、求める確率は、$\frac{240}{1320} = \frac{2}{11}$となります。

(2) 4番目の球を取り出したときに、初めて同じ番号の白い球と赤い球がそろう確率

* 1番目、2番目、3番目に取り出す球は、同じ番号の白い球と赤い球のペアではない必要があります。

* 4番目に取り出す球で初めて同じ番号の白い球と赤い球がそろう必要があります。

全事象の数は、$12 \times 11 \times 10 \times 9 = 11880$通りです。

題意を満たす事象の数を計算します。

1番目に取り出す球は、何でも良いので12通りです。

2番目に取り出す球は、1番目に取り出した球と同じ番号ではない必要があります。同じ番号の球はもう1つあるので、残り10通りです。

3番目に取り出す球は、1番目と2番目で出ていないペアのどちらかの色ではない必要があります。そのためには8通りです。

4番目に取り出す球は、1番目、2番目、3番目で出ていないペアのどちらかの色で、番号が一致している必要があります。そのためには2通りです。

よって、題意を満たす事象の数は、$12 \times 10 \times 8 \times 2 = 1920$通りです。

したがって、求める確率は、$\frac{1920}{11880} = \frac{8}{49.5}=\frac{16}{99}$となります。

(3) 取り出した4個の球の中に、同じ番号の白い球と赤い球の組がちょうど1組だけ含まれる確率

まず、全事象の数は、$12 \times 11 \times 10 \times 9 = 11880$通りです。

題意を満たす事象の数を計算します。

どの順番でペアを出すかによって場合分けをします。

1. 最初にペアを出す場合:

1番目にペアを出す方法は6ペアあるので6通り。

2,3,4番目はペアを作らないように選ぶので $10 \times 8 \times 6 = 480$通り。

したがって $6 \times 480 = 2880$通り。

2. 2番目にペアを出す場合：

1番目はペアを作らないように12通り

2番目にペアを出すので2通り。

3,4番目はペアを作らないように $8 \times 6 = 48$通り。

したがって $12 \times 2 \times 48 = 1152$通り。

3. 3番目にペアを出す場合：

1,2番目はペアを作らないように $12 \times 10 = 120$通り

3番目にペアを出すので2通り

4番目はペアを作らないように6通り

したがって$120 \times 2 \times 6 = 1440$通り。

4. 4番目にペアを出す場合：

1,2,3番目はペアを作らないように $12 \times 10 \times 8 = 960$通り。

4番目にペアを出すので2通り

したがって$960 \times 2 = 1920$通り。

合計：$2880 + 1152 + 1440 + 1920 = 7392$通り

したがって、求める確率は、$\frac{7392}{11880} = \frac{308}{495}$となります。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{11}$

(2) $\frac{16}{99}$

(3) $\frac{308}{495}$